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第十届华杯赛总决赛二试试题及解答

解答题（共6题，每题10分，写出解答过程）

1.如右图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点。已知：AO=1，

并且，那么OC的长是多少？

2.将化成小数等于0.5，是个有限小数；将化成小数等于

0.090…，简记为，是纯循环小数；将化成小数等于

0.1666……，简记为，是混循环小数。现在将2004个分数，

，，…，化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？

3.计算。

4.表示一个十进制的三位数，若等于由a，b，c三个数码所组

成的全体两位数的和，写出所有满足上述条件的三位数。

5.由，可以断定26最多能表示为3个互不相等的

非零自然数的平方和，请你判定360最多能表示为多少个互不相等的

非零自然数的平方之和？

6.有若干名小朋友，第一名小朋友的糖果比第二名小朋友的糖果多2

块，第二名小朋友的糖果比第三名小朋友的糖果多2块，…，即前一

名小朋友总比后一名小朋友多2块糖果。他们按次序围成圆圈做游

戏，从第一名小朋友开始给第二名小朋友2块糖果，第二名小朋友给

第三名小朋友4块糖果，…，即每一名小朋友总是将前面传来的糖果

再加上自己的2块传给下一名小朋友，当游戏进行到某一名小朋友收

到上一名小朋友传来的糖果但无法按规定给出糖果时，有两名相邻小

朋友的糖果数的比是13∶1，问最多有多少名小朋友？

1.OC的长是.2.其中纯循环小数有801个.3.原式=.

4.共有三个三位数满足条件,它们是：132，264，396.

5.360最多能表示为9个互不相等的非零自然数的平方之和,表达式

是:

.

6.最多有25名小朋友.

1．【解】△AOB与△COB等高，所以△AOB的面积∶△COB的面积＝

AO∶OC，

又△AOD与△COD等高，所以△AOD的面积∶△COD的面积＝

AO∶OC，

△ABD＝△AOB＋△AOD，△CBD＝△COB＋△COD

所以△ABD的面积∶△CBD的面积＝AO∶OC，

已知△ABD的面积∶△CBD的面积＝3∶5

所以AO∶OC＝3∶5，OC＝AO，AO＝1，OC＝.

2．【解】凡是分母的质因素仅含2和5的，化成小数后为有限小数，

凡是分母的质因素不含2和5的，化成小数后为有限小数后为纯循环

小数，所以本题实际上是问从2到2005的2004个数中，不含质因数

2或5的共有多少个.这2004个数中，含质因数2的有2004÷2＝1002

个，含质因数5的有2005÷5＝401个，既含2又含5的有2000÷10＝

200个，所以可以化成纯循环小数的有2004－1002－401＋200＝801

个.

3．【解】原式＝

＝×（）＝

4．【解】即求满足a×100＋b×10＋c＝（a＋b＋c）×10×2＋（a＋b

＋c）×2＝22×（a＋b＋c）的a、b、c.

上式为：100a＋10b＋c＝22a＋22b＋22c，也即：78a－12b－21c＝0

因为12×9＋21×9＝297，297÷78＜4，所以a仅可能为1、2、3，

如果a＝1，即78＝12b＋21c，c＝，c只需用1、2、3试

验，经验证b＝3，c＝2符合条件；

如果a＝2，即156＝12b＋21c，c＝，经验证b＝6，c＝4，

符合条件；

如果a＝3，即234＝12b＋21c，c＝，经验证b＝9，c＝6，

符合条件.

所以，共有三个三位数满足条件，它们是：132，264，396.

5．【解】将1