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第十届华杯赛总决赛一试试题及解答

一、填空（共3题，每题10分）

1．1000米赛跑，已知甲到达终点时，乙离终点50米；乙到达终点

时，丙离终点100米。那么甲到达终点时，丙离终点___米。

2．三个相邻奇数的积为一个五位数2***3，这三个奇数中最小的是

___。

3．将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数的差，称为一次操

作，如对18和42可连续进行这样的操作。则有：18，42→18，

24→18，6→12，6→6，6，直到两数相同为止。试给出和最小的两个

五位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15，这两个五位数是

___与___。

二、解答题（共3题，每题10分，写出简要解答过程）

4.右图中，ABCD是边长为1的正方形，A，E，F，G，H分别是四条边

AB，BC，CD，DA的中点，计算图中红色八边形的面积。

5．若干名小朋友购买单价为3元和5元的两种商品，每人至少买一

件，但每人购买的商品的总金额不得超过15元。小民说：小朋友中一

定至少有三人购买的两种商品的数量完全相同。问：至少有多少名小

朋友？

6．A是山脚，B是山顶，C是山坡上的一点，。甲、乙同时从

山脚出发，到达山顶，再返回山脚，如此往返运动。甲、乙速度之比

为6∶5，并且甲乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍．出发一段

时间后，甲第一次在山顶上看见乙在AC段向上爬；又经过一段时间

后，甲第二次在山顶上看见乙在AC段向上爬。问：当甲第二次在山顶

上看到乙在AC段上爬时（包括此时），甲到过山顶几次？

一、填空

1.1452.273.10005与10020

二、解答题

4.红色八边形的面积是

5.至少有25名小朋友6.甲到过山顶9次

1．【解】甲跑1000米，乙跑了950米，乙跑1000米，丙跑900米，

所以甲跑1000米时，丙跑了950×＝855（米），丙距终点

1000－855＝145（米）.

2．【解】设中间数为n则（n－2）×n×（n＋2）＝2***3，又知（n

－2）×（n＋2）＜，而＝19683，所以，n应大于27，而

7×9×1＝63，故最小数应为27，27×29×31＝24273，符合题意，并

且是唯一解.

3．【解】能被15整除的最小5位数是10005，10005＋15＝10020，按

照题目所给的操作，只需将这两个五位数取为10005和10020，则经过

1次操作，较小的数变为15，较大的数变为10005，再经若干此次操

作，较小的数一直不变，较大的数每次减少15，直到较大的数变为

30，再经一次操作两个数都变成了15.

4．【解】如图，易知蓝边正方形面积为，△ABD面积为，△BCD面

积为，

所以△ABC面积为－＝，可证AE∶EB＝1∶4，

黄色三角形面积为△ABC的，等于，由此可得，所求八边形的

面积是：.

至此，我们对各部分的面积都已计算出来，如下图所示.

【又解】设O为正方形中心（对角线交点），连接OE、OF，分别与

AF、BG交于M、N，设AF与EC的交点为P，连接OP，△MOF的面积为

正方形面积的，N为OF中点，△OPN面积等于△FPN面积，又△OPN

面积与△OPM面积相等，所以△OPN面积为△MOF面积的，为正方形

面积的，八边形面积等于△OPM面积的8倍，为正方形面积的.

5．【解】不超过15元可购买商品的方法有：

3元件数5元件数总钱数

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