直接证明与间接证明(人教A选修).ppt

证明：因为AB∩α=P,BC∩α=Q，AＣ∩α=Ｒ,所以P,Q,R∈α，P∈AB，Ｑ∈BC,R∈AC则得P,Q,R∈平面ABC,因此P,Q,R是平面ABC与平面α的公共点.因为两平面相交有且只有一条交线，所以P,Q,R三点在平面ABC与平面α的交线上，即P,Q,R三点共线。 * * 2.2直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法 推理 合情推理 演绎推理 归纳 (特殊到一般） 类比 （特殊到特殊） 三段论 （一般到特殊） 复习 合情推理的结论不一定正确,有待证明; 演绎推理得到的结论一定正确. 例：已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 因为b2+c2 ≥2bc,a0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 证明: 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为: … 特点:“由因导果” 综合法又叫由因导果法或顺推证法. 例1:如图,△ABC在平面α外, 求证:P,Q,R三点共线. A B C P Q R 例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形． 证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C，---------------------------------------① 因为A,B,C是三角形的内角，所以A+B+C=180o，----------------------② 所以B=60o。---------------------------------------------------------------------③ 由a,b,c成等比数列，有b2=ac, -----------------------------------------------④ 则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 再有④得a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0 因此a=c。从而有A=C----------------------------------------------------------⑤ 则由② ③ ⑤得A=B=C=60o。 所以三角形ABC是等边三角形。 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为: … 小结 综合法的定义: 回顾基本不等式： (a0,b0)的证明. 证明: 因为; 所以 所以 所以 成立 证明:要证; 只需证; 只需证; 只需证; 因为; 成立 所以 成立 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法． 特点：执果索因. 用框图表示分析法的思考过程、特点. 得到一个明显成立的结论 … 分析法又叫执果索因法或叫逆推证法 例4:求证 证明：因为 都是正数， 所以为了证明 只需证明 展开得 即 只需证明2125，因为2125成立， 所以不等式 成立。 例5:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证 AF⊥SC F E S C B A 证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC 因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立 证: 例6 上述过程可用框图表示: 看课本第41页，例题6。 一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后