直接证明与间接课件.pptx

直接证明与间接证明;重点难点

重点：能熟练地运用综合法和分析法

证题．

难点：用综合法、分析法、反证法证

题的思路．;基础梳理

1．直接证明;内容;思考探究

综合法和分析法的区别与联系是什么？;提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．;2．间接证明

反证法：假设原命题_________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_______．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．;反证法是从反面的角度思考的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．适合使用反证法证明的命题有：①否定性命题；②唯一性命题；③至多、至少型命题；④明显成立的命题；⑤直接证明有困难的问题．;;A?B1?B2?…?Bn?B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“?”．

;;(2)用综合法证不等式时，以基本不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证．因此，关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质．;考点2分析法

分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，;由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B?B1?B2?…?Bn?A.它的常见书面表达是“要证…只需…”或“?”．;;只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，

即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．

故原不等式得证．;【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．;一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．;考点3反证法

反证法??现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：

(1)分清问题的条件和结论；

(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；;(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；

(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．;;【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，

(2)利用反证法证明．;【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，;与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．;方法技巧

1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，;缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．;2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．

;3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．;失误防范

1．反证法证明中要注意的问题

(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；;(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；;(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．;2．常见的“原结论词”与“反设词”