2.2 直接证明与间接证明（教师版）—《课时同步君》2017-2018学年高二文科数学人教选修1-2.docx

第二章 推理与证明2.2 直接证明与间接证明一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．实数不全为0等价于A．均不为0B．中至多有一个为0C．中至少有一个为0D．中至少有一个不为0【答案】D【解析】“不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否定应为“全为0”．故选D．2．若，则的大小关系是A．B．C．D．由的取值确定【答案】C【解析】取得，，所以，故选C．（证明如下：要证，只要证，只要证，只要证，只要证，显然成立，所以成立）3．要证成立，应满足的条件是A．且B．且C．且D．,或,【答案】D【解析】要证，只需证，即，即证，只需证，即．只需，或，．故选D．4．在中，角所对的边分别为，若，则的形状为A．锐角三角形　　B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】B【解析】由正弦定理得，所以，所以，而，所以，故，所以是直角三角形．故选B．5．有以下结论：①已知，求证：，用反证法证明时，可假设；②已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设．下列说法中正确的是A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确【答案】D【解析】用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“”；②的假设为“两根的绝对值不都小于1”，故①假设错误．②假设正确．故选D．6．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“已知，且，求证：”索的因应是A．B．C．D．【答案】C【解析】要证明，只需证，只需证，只需证，即证，即证，即证．故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．命题“若，”，则______________．【答案】【解析】条件变为，，两式平方相加可推得结论．8．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为______________．【答案】③①②【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②．9．已知是方程的根，是方程的根，则的值是______________．【答案】4【解析】∵，∴，∴是与交点的横坐标．又∵，∴，∴是与交点的横坐标．又与互为反函数，其图象关于对称，由得，∴，∴．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．（1）证明：，，不可能成等差数列；（2）证明：，，不可能为同一等差数列中的三项．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）假设，，成等差数列，则，即，即，因为，矛盾，所以，，不可能成等差数列．（2）假设，，为同一等差数列中的三项，则存在正整数，满足，得，两边平方得? ③，由于③式左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数，故假设不正确，即，，不可能为同一等差数列中的三项．11．用分析法证明：若的三内角成等差数列，求证：+=．【答案】证明见解析．【解析】要证+=，即证，即证．因为成等差数列，所以，所以，所以由余弦定理，可得．所以+=．12．已知非零向量，满足，求证：．【答案】证明见解析．【解析】因为，所以，要证，只需证，只需证，只需证，只需证，即证，上式显然成立，故．13．在中，三个内角所对的边分别为，且成等差数列，成等比数列，求证：为等边三角形．【答案】证明见解析．【解析】由成等差数列，得①．因为为的内角，所以由①②，得③，由成等比数列，得．由余弦定理及③，可得．将④代入，可得，即，因此，从而有⑤．由②③⑤，得，所以为等边三角形．14．已知函数．（1）证明：函数在为增函数；（2）用反证法证明方程没有负实根．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）任取，不妨设，则，，且．所以．又，所以，于是，故函数在上为增函数．（2）设存在满足，则．又，所以，即，与假设矛盾，故没有负实根．