高数复习大纲同济六版下册.doc

1、向量与空间几何 向量：向量表示((a^b));? 向量的大小叫做向量的模( 向量a、、的模分别记为|a|、、( 单位向量? 模等于1的向量叫做单位向量( 零向量? 模等于0的向量叫做零向量( 记作0或( 零向量的起点与终点重合( 它的方向可以看作是任意的( 向量的平行? 两个非零向量如果它们的方向相同或相反( 就称这两个向量平行( 向量a与b平行( 记作a // b( 零向量认为是与任何向量都平行( 向量运算(向量积)；a((ax( ay( az)( b((bx( by( bz) 即 a(axi(ayj(azk( b(bxi(byj(bzk ( 则 a(b ((ax(bx)i((ay(by)j((az(bz)k ((ax(bx( ay(by( az(bz)( a(b( (ax(bx)i((ay(by)j((az(bz)k((ax(bx( ay(by( az(bz)( (a(((axi(ayj(azk) (((ax)i(((ay)j(((az)k (((ax( (ay( (az)( 向量模的坐标表示式 点A与点B间的距离为 向量的方向a与b的夹角 当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时( 两个向量之间的不超过(的夹角称为向量a与b的夹角( 记作或( 如果向量a与b中有一个是零向量( 规定它们的夹角可以在0与(之间任意取值( 类似地( 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角( 数量积(?对于两个向量a和b(?它们的模?|a|、|b|?及它们的夹角( 的 余弦的乘积称为向量a和b的数量积(?记作a(b(?即 a·b(|a| |b| cos( (? 数量积与投影(? 由于|b| cos( (|b|cos(a(^ b)(??当a(0时(?|b| cos(a(^ b)?是向量 b在向量a的方向上的投影(?于是a·b?(?|a| Prj ab(? 同理(?当b(0时(?a·b?( |b| Prj ba(? 数量积的性质(? (1)? a·a?(?|a| 2(? (2) 对于两个非零向量 a、b(?如果 a·b?(0(?则 a(b?? 反之(?如果a(b(?则a·b?(0(? 如果认为零向量与任何向量都垂直(?则a(b?(?a·b?(0( 两向量夹角的余弦的坐标表示(? 设(((a( ^ b)( 则当a(0、b(0时(?有 向量积(?设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出(? c的模?|c|(|a||b|sin ( (?其中( 为a与b间的夹角?? c的方向垂直于a与b所决定的平面(?c的指向按右手规则从a转向b来确定(? 那么(?向量c叫做向量a与b的向量积(?记作a(b(?即 c?( a(b(? 坐标表示(? (aybzi?azbx j?axbyk(aybxk(axbz j(azbyi (?( ay bz ( az by) i ( ( az bx ( ax bz) j ( ( ax by ( ay bx) k(?( 向量的方向余弦? 设r((x( y( z)( 则 x(|r|cos(( y(|r|cos(( z(|r|cos( ( cos(、cos(、cos( 称为向量r的方向余弦( ( ( ( 从而 向量的投影 设点O及单位向量e确定u轴( 任给向量r( 作( 再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M((点M(叫作点M在u轴上的投影)( 则向量称为向量r在u轴上的分向量( 设( 则数(称为向量r在u轴上的投影( 记作Prjur或(r)u ( 按此定义( 向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax( ay( az就是a在三条坐标轴上的投影( 即 ax(Prjxa( ay(Prjya( az(Prjza( 投影的性质( 性质1 (a)u(|a|cos ( (即Prjua(|a|cos ()( 其中(为向量与u轴的夹角( 性质2 (a(b)u((a)u((b)u (即Prju(a(b)( Prjua(Prjub)( 性质3 ((a)u(((a)u (即Prju((a)((Prjua)( 空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；(1)椭圆锥面 由方程所表示的曲面称为椭圆锥面( (2)椭球面 由方程所表示的曲面称为椭球面( (3)单叶双曲面 由方程所表示的曲面称为单叶双曲面( (4)双叶双曲面 由方程所表示的曲面称为双叶双曲面( (5)椭圆抛物面 由方程所表示的曲面称为椭圆抛物