2015届高考调研理科专题研究三角函数的值域和最值.ppt

专题讲解 课时作业 新课标版 · 高三数学（理） 高考调研 课时作业（二十六 ） 专题讲解 课时作业 新课标版 · 高三数学（理） 高考调研 专题研究　三角函数的值域与最值 例1　(1)(2011·北京)已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1. 求f(x)的最小正周期； 求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值． 【解析】　因为f(x)＝4cosxsin(x＋)－1 ＝4cosx(sinx＋cosx)－1 ＝sin2x＋2cos2x－1 ＝sin2x＋cos2x ＝2sin(2x＋)， 所以f(x)的最小正周期为π. ②因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤. 于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2； 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1. 【答案】　π　2，－1 (2)已知函数f(x)＝2asin(2x－)＋b的定义域为[0，]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值． 【解析】　0≤x≤，－≤2x－≤π. －≤sin(2x－)≤1. 若a0，则解得 若a0，则解得 综上可知，a＝12－6，b＝－23＋12或a＝－12＋6，b＝19－12. 【答案】　a＝12－6，b＝－23＋12或a＝－12＋6，b＝19－12 探究1　化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值． 思考题1　已知函数f(x)＝cos(＋x) cos(－x)，g(x)＝sin2x－. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合． 【解析】　(1)f(x)＝cos(＋x)cos(－x)＝(cosx－sinx)(cosx＋sinx)＝cos2x－sin2x＝－＝cos2x－， f(x)的最小正周期为＝π. (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x＝cos(2x＋)， 当2x＋＝2kπ(kZ)时，h(x)取得最大值. h(x)取得最大值时，对应的x的集合为{x|x＝kπ－，kZ}． 【答案】　(1)π　(2)　{x|x＝kπ－，kZ} 例2　求下列函数的值域： (1)y＝； (2)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx. 【解析】　(1)y＝＝ ＝2cos2x＋2cosx＝2(cosx＋)2－， 于是当且仅当cosx＝1时，ymax＝4. 但cosx≠1，y4. 且ymin＝－，当且仅当cosx＝－时取得． 故函数值域为[－，4)． (2)令t＝sinx＋cosx，则有 t2＝1＋2sinxcosx，即sinxcosx＝. y＝f(t)＝t＋＝(t＋1)2－1. 又t＝sinx＋cosx＝sin(x＋)， －≤t≤. 故y＝f(t)＝(t＋1)2－1(－≤t≤)． 从而知f(－1)≤y≤f()，即－1≤y≤＋. 则函数的值域为[－1，＋]． 【答案】　(1)[－，4)　(2)[－1，＋] 探究2　可化为y＝f(sinx)型三角函数的值域也可通过换元法转为其他函数的值域． 思考题2　(1)求函数y＝的值域． 【解析】　原函数可化为 y＝＝. y＝3cos2x－1，(cos2x≠)． －1≤y≤2，且y≠. 【答案】　[－1，)(，2]． (2)求f(x)＝cos2x＋asinx的最小值． 【解析】　f(x)＝1－sin2x＋asinx， 令t＝sinx，t[－1,1]， y＝－t2＋at＋1＝－(t－)2＋1＋. 当a0时，t＝－1时，y取最小值，ymin＝－a. 当a≤0时，t＝1时，y取最小值，ymin＝a. 【答案】　当a0时，t＝－1时，y取最小值，ymin＝－a. 当a≤0时，t＝1时，y取最小值，ymin＝a. 例3　(1)求函数f(x)＝的值域． (2)已知f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|，求f(x)的值域． 【解析】　(1)函数f(x)＝， 可看作点(2,2)，(－cosx，sinx)两点连线的斜率． 点(－cosx，sinx)的轨迹为x2＋y2＝1. 函数值域即为(2,2)与单位圆x2＋y2＝1上点连线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切的斜率存在，不妨设为k. ∴切线方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0. 满足＝1，解之得k＝. 函数f(x)的值域为[，]． (2)f(x)＝ 作出图像， 由图像知，－1≤y≤. 【答案】　(1)[，]　(2)[－1，] 探究3　借助一些代数式的几何意义或三角函数的图像可直观地求出函数的值域，从而减少运算量． 思考题3　求y＝的值域． 【解析】　可理解为点P(－cosx，－sinx)与点C(3,1)连线的斜