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第二章 静电场 1. 一个半径为R的电介质球，极化强度为，电容率为。 （1）计算束缚电荷的体密度和面密度： （2）计算自由电荷体密度； （3）计算球外和球内的电势； （4）求该带电介质球产生的静电场总能量。 解：（1） （2） （3） （4） 2. 在均匀外电场中置入半径为的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差； （2）导体球上带总电荷 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。 当时，电势满足拉普拉斯方程，通解为 因为无穷远处 ， 所以 ，， 当 时， 所以 即： 所以 （2）设球体待定电势为，同理可得 当 时，由题意，金属球带电量 所以 3. 均匀介质球的中心置一点电荷，球的电容率为，球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。 提示：空间各点的电势是点电荷的电势与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。 解：（一）分离变量法 空间各点的电势是点电荷的电势与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加。设极化电荷产生的电势为，它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形式为： 当时，，。 当时，为有限，。 所以 ， 由于球对称性，电势只与R有关，所以 ， 所以空间各点电势可写成 当时，由 得： 由 得：， 则 所以 （二）应用高斯定理 在球外，RR0 ，由高斯定理得：，（整个导体球的束缚电荷），所以 ，积分后得： 在球内，RR0 ，由介质中的高斯定理得：，所以 ，积分后得： 结果相同。 8. 半径为的导体球外充满均匀绝缘介质，导体球接地，离球心为a处（a ）置一点电荷，试用分离变量法求空间各点电势，证明所得结果与电象法结果相同。 解：以球心为原点，以球心到点电荷的连线为极轴建立球坐标系。将空间各点电势看作由两部分迭加而成。一是介质中点电荷产生的电势 ， 二是球面上的感应电荷及极化面电荷产生的。后者在球内和球外分别满足拉普拉斯方程。考虑到对称性，与无关。 由于时，为有限值，所以球内的解的形式可以写成 （1） 由于时，应趋于零，所以球外的解的形式可以写成 （2） 由于 （3） 当时， （4） 当时， （5） 因为导体球接地，所以 （6） （7） 将（6）代入（4）得: （8） 将（7）代入（5）并利用（8）式得: （9） 将（8）（9）分别代入（4）（5）得: （10） , （11） 用镜像法求解：设在球内r0处的像电荷为Q’。由对称性，Q’在球心与Qf的连线上，根据边界条件：球面上电势为0，可得：（解略） ， 所以空间的电势为 9. 接地的空心导体球的内外半径为和，在球内离球心为a处(a )置一点电荷。用镜像法求电势。导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？ 解：假设可以用球外一个假想电荷代替球内表面上感应电荷对空间电场的作用，空心导体球接地，球外表面电量为零，由对称性，应在球心与的连线上。 考虑球内表面上任一点P，边界条件要求： (1) 式R为Q到P的距离，R’为到P的距离，因此，对球面上任一点，应有 常数 (2) 只要选择的位置，使，则 常数 (3) 设距球心为b，则，即 (4) 由（2）（3）两式得: 导体内电场为零，由高斯定理可知球面上的感应电荷为，分布于内表面。 由于外表面没有电荷，且电势为零，所以从球表面到无穷远没有电场，。 12. 有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所 围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b，求空间电势。 解：用