电动力学4节.ppt

* * * 第二章 第四节 镜 象 法 求解泊松方程的难度 区域无自由电荷分布， 适用。 区域有自由电荷分布， 适用。 原则上，我们可以采用分离变量法求出拉普拉斯方程的通解，泊松方程为非齐次方程，其通解为对应的齐次方程（拉普拉斯方程）的通解＋非齐次方程对应的一个特解， 但是，如果所求解的问题不具备一定的对称性（求解区域、边界），势必引起从数学上列写边界条件困难（除球形边界、柱形边界、矩形边界外），要求出满足边界条件的微分方程的特解将更上难上加难。 在一般情况下，因为泊松方程的求解比较困难的(要么难度极大，要么解不出来)，特别是电荷分布对称性不明显或没有对称性。因此，我们有必要另外开辟求解静电场的方法。 在原电荷和导体间的区域内的电场由原电荷和感应电荷共同产生。 在一般情况下，由于感应电荷分布的复杂性，直接计算合成场是困难的。但是，若原电荷是点电荷或线电荷，导体形状又较简单时，可采用镜像法计算该类问题的合成场。 一、镜象法的概念和适用条件 镜像法是用与原电荷相似的点电荷或线电荷代替实际导体上的感应电荷，来计算原电荷和感应电荷共同产生的合成电场，这些相似的电荷称为镜像电荷。 镜像电荷和原电荷共同产生的总电位(试探解)如果满足给定的边界上的边值，又在需求的场区域内满足原来的泊松（或拉普拉斯）方程，根据唯一性定理，所得的场解是唯一的，即试探解为唯一的正确的解！ 1、镜象法的引入――唯一性定理保证下可以不择手段寻找求解方法 2、镜象法的基本问题 在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的 用镜像法求解边值问题的关键是在适当的位置找到定量的镜像电荷，换言之，就是确定镜像电荷的个数、大小、符号和位置。 3、镜像法及其基本思想 镜象法的定义 用研究区域外的假想点电荷来等效地代替导体界面上的面电荷（感应电荷）分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出研究区域的电势分布。 基本思想： 1）在电场作用下，导体（或介质）的表面要出现感应（极化）电荷，区域V内的电场是由V内的电荷的电场和面上的感应（极化）电荷电场迭加的结果。 2）在V外区域找到等效替代导体（介质）面上的感应（极化）电荷贡献的电荷（这就是镜像电荷）。 3）V内（研究区域内）的电场就可以表示为V内电荷的电场与V外区域象电荷激发的电场的迭加。 4）正确性由唯一性定理保证。 镜像法不仅适用于静电场的边值问题，当然也适用于类似的磁场的边值问题，但是它只能解决相当有限的一类问题，诸如： 无限大导体(或介质)平面附近的点电荷、线电荷或线电流的场； 无限长圆柱导体附近有平行的线电荷、线电流或平行圆柱体的场； 导体球附件的点电荷的场等。 注意 1)镜像电荷必须放在研究的场域外。 2)放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在，把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。 3)镜像电荷是虚构的，它只有等效作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或极化电荷相等。 4)镜象法所适应的范围是： ①场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线； ②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。 二、应用举例 b)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置； 用镜象法解题大致可按以下步骤进行 ： a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件； c)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式； d) 根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。 [例题1] 如图所示，接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q，求右半空间电势分布。 [解] ： 分析 边界 (1)右半空间，Q处在(0,0,a)点，其余点 。 从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷（镜像电荷）应在左半空间z轴上。 设电量为Q’，位置为(0,0,a’) 因此，在右半空间任一点的电势为： (2)由边界条件确定Q’和a’，然后求出求解区域的电势 对于任意的x、y，上式均需要得到满足，所以它的解是： 即 或 应该取哪一组解？（第II组，原因：像电荷不能位于求解区域内）。 所以，求解区域电势的表达式： (3)讨论： (a)导体面上感应电荷分布 (b)可见电荷Q产生的电场线全部终止在导体面上，它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半部完全相同。 Q 镜像法动画演示 (c)镜象法是很形象的：与Q位置对于导体板镜象对称，故这种方法称为电象法(又称镜象法)，同学们只要与平面镜成像进行类比，就知道镜像法名称的来历了。 ▲镜象法的图形与光路用此图比较 根据光的反射可找到Q的大小和位置，但注意区别：点电荷发出的电场线与点光源发出的光线传播路径是有区别的。 光