电动力学 第2篇 2-2.pdf

§2.2 唯一性定理 通过上节的讨论我们知道，静电学的基本问题就是求 解 满足一定条件的泊松（Possion）方程的解。本节我们讨论 需要具体给定哪些条件，静电场的解才能唯一地被确定。 分两种情况： 一、 唯一性定理的一般表述 二、 有导体存在时的唯一性定理 一、 唯一性定理的普遍形式 设在给定的区域V内，介质是分区均匀的，每一均匀区域的介 电常数为εi。注意：这里涉及到两类面，一类为不同介质的分 界面，一类为区域V的边界面S。 设V内有给定的电荷分布 (ρ)x ，电势φ在均匀区域Vi内满 足泊 2 松方程 ∇ϕ −ρεi 在两区域V 和V 的分界面上满足边值关系 i j ⎛∂ϕ⎞ ⎛∂ϕ⎞ ϕ ϕ ε ⎜ ⎟ ε⎜ ⎟ i j i j n n ⎝∂ ⎠i ⎝∂ ⎠j 此外，要完全确定V内电场，还需给出V的边界S上的一些条件 在这种区域内静电场的唯一性定理表述如下： 唯一性定理： 设区域V内给定自由电荷分布(ρ)x (i) 电势ϕS (第一类边值条件) ∂ϕ 或 (ii) 电势的法向导数 （第二类边值条件） ∂n S 则V 内的电场唯一地确定。 也就是说，在V 内存在唯一的解的条件为：在每个均匀区域内满 足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并且在V 的 边界S上满足给定的ϕS 或 ∂ϕ 值。 ∂n S 证明如下： 设在同样条件下得到了两个解 ′ 和′′ ，则它们都满足 ϕ ϕ 2 =∇ϕ −ρ ε i 2 ′′ ϕ ∇ρ ε − i ϕ ϕ′S S （第一类边值条件） ϕ或 ∂ϕ′ ∂ ′′ （第二类边值条件） n ∂n ∂ S S ′ ′′ 为证明它们只能是同一个解，引入 ϕ ϕ −ϕ ，满足 =∇ 2ϕ 0 (每个均匀区V 内) i ϕ 0 （第一类边值条件） S ∂ϕ 或 0 （第二类边值条件） ∂n S