理论物理基础CHAPTER21.ppt

* * §1.4 导出热力学函数 1. 内能 系统的内能是系统内各粒子热运动总能量的统计平均值 配分函数 总粒子数的能量U为： 而 §1.4 导出热力学函数 2. 压强 外界对粒子做功 在无其他外场只有压强的情况下，dw=-pdV,所以 3. 功与热量 此时表明： 第一项是粒子数分布不变而能级发生变化，引起内能变化，这与外界做功对应； 第二项是能级不变而粒子分布发生变化，引起内能变化，这与系统吸收的热量对应。 因为： 4. 熵 玻耳兹曼常数 利用全微分 后两项合并 5 玻耳兹曼关系 玻耳兹曼关系表示的是熵与微观态数的关系，由热力学知道，一个孤立系从非平衡态过渡到平衡态，正是熵增加最终达到最大值的过程，从统计的观点，这个过程也可以理解为从微观态数少的态过渡到微观态数多的过程。由此看来，熵与微观态数之间有一定的关系，通过推导（p292页）得： 上式即为玻耳兹曼关系式，这是一个重要的关系，此式表明熵与微观态数有直接关系。熵越大，微观态数越大，概率也越大；平衡态熵达到极大，此时微观态数相比较也最多。另一方面，微观态数越多，则表明系统也越加混乱，越加无序。同时也应该看到，平衡态的微观态数尽管比非平衡态的微观态数要多得多，但并不是无限制地增多，而有确定的数。 §1.6 理想气体统计函数 能量均分定理经典统计中一个重要定理，表述如下：对于温度T的热平衡系统，粒子能量 中的每一个独立平方项的平均值均等于1/2kT，即“能量按（平方项）均分定理” 粒子的能量可以表现为动能 与势能 之和 §1.6 能量均分定理 能量均分定理经典统计中一个重要定理，表述如下：对于温度T的热平衡系统，粒子能量 中的每一个独立平方项的平均值均等于1/2kT，即“能量按（平方项）均分定理” 粒子的能量可以表现为动能 与势能 之和 §1.6 能量均分定理 对“独立平方项”的含义需要做些说明，一般说来，一个例子可能有f个自由度，其广义坐标和广义动量分别为q1,q2,...qf和p1,p2,...pf，若粒子的能量对pi的依赖关系可以写为： 其中 不包含pi, 而且ai 也与 pi 无关；或者 其中 不包含qi, 而bi也与qi无关，则i取每一个值的 或者 叫做“独立平方项”，要注意的是ai或bi可能是常数，也可能是除pi或qi外其他广义坐标和广义动量的函数 能量均分定理可以用数学形式写为： 能量均分定理不仅对宏观系统中的微观例子有效，对于作 无规则运动的宏观粒子，如布朗微粒等也是适用的。 应用能量均分定理，在它适用的范围内可以很方便地求出 系统的内能和热容量，下面给出几种分子系统的结果。 1.单原子分子 单原子分子即是只有一个原子构成的分子，通常稀有 气体就是单原子分子，例如He。单原子分子是最简单分 子，只有平动，功能有三个平方项： 2.多原子分子 由于多原子分子本身有一定的大小和较复杂的内部结构，分子除平动外，还有转动和分子内部原子的振动。研究分子热运动的能量时，应将分子的平动动能、转动动能和振动动能都包括进去。它们服从一定的统计规律——能量按自由度均分定理。 如果是双原子，则式中第一项是双原子质心的平动能量，质量M=m1+m2, 是两个原子之和；第二项是整个分子绕质心的转动能量，转动惯量I= ，其中 是折合质量，r是两原子间的距离；第三项是两原子相对运动的动能；第四项是分子内的两原子之间的相互作用能。 3.理想固体 理想固体模型是假设固体中的原子在它们各自的平衡位置附件作微振动，而且各个振动是彼此独立的简谐振动，每个原子有三个自由度，每个自由度的振动能量： 多原子分子 单原子分子 双原子分子 总结：