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高阶谱理论中的若干问题解析 胡念青( （四川师范大学文理学院，四川 成都 610110） 摘要：本文详细阐述了在信号处理中引入高阶谱（PolySpectrum）理论的重要意义；给出了高阶谱的准确数学定义及相关性质，系统介绍了高阶谱估计的经典算法和现代算法；首次提出了现代算法中的模型阶次判别理论；并分析讨论了非线性系统X2（t）+aX(t)与线性系统h(t)在级联与并联情况下对线性部份的辨识问题；分析讨论了在非高斯假定下、最小相位条件不成立时，过程（模型）传递函数的相位谱估计问题。 关健词：高阶谱；信号处理；模型辨识 一引论 谱分析在随机过程论、时间序列分析及信号处理中属于一个非常重要的理论问题，也是一个极为有用的处理工具。由维纳创建的功率谱理论已成为谐波分析、参数估算、信号模型识别、系统辨识及预测控制等多种问题中不可缺少的应用工具。然而必须看到，与过程的二阶矩相联系的功率谱无论在理论上，还是在应用中都存在着无法避免的局限性。特别是在非高斯及非线性问题的处理中更是如此。因为功率谱仅包含了过程与二阶矩相当的信息量，故只有在高斯情况下，它才能给过程以完整的统计描述。相反在非高斯及非线性情况下，它对过程所能提供的信息描述，便显得极为不够了。由此，前苏联著名的工程数学家Kolmogorov提出了将高阶(大于二阶)矩作付里叶变换这一思想，并进一步发展由Shiryaev提出了高阶谱的概念。之后，由Brillinger初步建立了高阶谱理论，并逐步在海洋波、地震波分析、经济时间序列分析、流体力学及无线电信号处理中找到了广泛的应用。那么到底引用高阶谱理论对实际的工程问题的分析处理有何价值和意义呢？我们试图首先通过对无线电信号处理中的几个问题的分析来对此予以阐释。 非线性信号模型分析 我们知道，任何具有连续功率谱的平稳随机过程Xt均能找到一个一般的非线性模型表示：Xt=，其中为一个不相关的过程。 如果Xt的功率谱密度函数PSD满足这Poley-Winer条件，则上述表达式可以给出单边形式：Xt= 显然，是一个不相关的过程( E［·］=0 )。这一点仅仅包含了过程的二阶信息。只有在高斯情况下，才能得到Xt的完整统计描述。相反，则可以看到这一信号模型之缺陷。例如在预测问题中，仅依赖这一线性模型，预测精度将得不到保证。于是便相应产生了非线性信号模型。 这里我们考虑维纳模型：Volterra级数形式，Ut为输入，Xt为输出：Xt=+ + 引入所谓的广义传递函数： 假定平稳输入过程：Ut= 则 Xt=+ ++ +…… 其中，表示了Ut中w1、w2处的频率分量对Xt中w1+w2处的频率分量之贡献，余类推。 当假定Ut=时， 则：Xt= ++ 由此可以看到非线性因素的作用。输出中不再仅仅包含单一的频率分量w0了，而是出现了所谓频率增值现象。因此，我们已不可能仅仅利用二阶特性来确定上述各级传递函数了。为此，必须引进高阶谱。 假定Xt中的K阶中心自矩为：C(s1，s2，……，sk-1)= E［Xt·Xt+s1……Xt+sk-1］—E［Xt］·E［Xt+s1］……E［Xt+sk-1］ 则可以定义K阶谱：hk(s1，s2，……，sk-1)= 以同样的方式还可引进两个过程Xt和Yt之间的高阶互谱。 下面考虑特殊情况，即Xt的Volterra级数中只包含一个单一项： Xt=且Ut为高斯，则：Xt= Xt与Ut这三阶互矩为：E［Xt·Ut+s1·Ut+s2］ = ·E［］ 由于是高斯的(Ut为高斯过程)，则积分号的那四项积之均值可以分解为三项两两相乘之均值的和。即： E［］·E［］ + E［］·E［］ + E［］·E［］ 而E［］=0 w1+w2≠0； E［］=hu(w1)dw1 w1+w2=0； 其中hu(w)为过程Ut之功率谱密度函数。 E［Xt·Ut+s1·Ut+s2］ = · + + 上式中之第一项恰为E［Xt］·E［Ut+s1·Ut+s2］所以将积分变量w3、w4换为w1、w2，有： Cuux(s1，s2) E［Xt·Ut+s1·Ut+s2］= E［Xt］·E［Ut+s1·Ut+s2］+ 2 由高斯互谱的定义(即它与高阶互矩之关系)，有： huux(w1，w2)=2 于是： 由此，我们可以看到引入高阶谱可以估计出单一的各级级数，当Xt的Volterra级数展开中包含多个项式时，可以用维纳分析法将级数展开式重写为一系列正交项之和。其中引入Hermite多项式，这样由新的参数构成的传递函数便可应用上面推导的表达式予以估计。 谐波分析中二次相位对的判别问题 在谐波分析中存在这样的一种现象，即由于两个谐波分量的相互作用，将可能在差频或和频处产生一个新的频