第2章-2.2(3-1)2012-3-12(2学时-实).pdf

第2章 第2章 应力应变分析及应力应变关系 2.1 应力的概念及变形体在一点处的应力状态 2.2 平面应力状态的解析法 2.3 平面应力状态的解析法——应力圆 2.4 三向应力状态分析 2.5 应变的概念及一点处的应变状态 2.7 应力应变关系 2.6 平面应力状态下的应变分析 第2.1节 应力状态的概念 返回 一点各方位截面上的应力的集合称为 该点的应力状态。M点的应力状态。 一点的应力状态 { } n n n n n = 1 ,2 , , 0 l im , A Fp A σ τ ? → ? ?? ??? ?= = ∞? ?? ? ?? ?? ?? ? 应力状态分析 各方位截面上应力存在内在联系，寻求该关系的 过程称为应力状态分析。 p σ τ M n iF 2F 2.1.1 应力的概念 应力状态的概念 返回 应力张量的概念 { }n nn n ,n = 1 ,2 , ,σ τ 0 l im , A Fp A? → ? ?? ??? ?= = ∞? ?? ? ?? ?? ?? ? 一点处的应力与其集度 以及ΔA的法向 相关,因此可 用两个并在一起的矢量 表示，这在数学上称为张量。a b n 0 lim A F A? ? ?→ 描述变形体内部某点的应力状态 应用二阶张量描述 物理量的类型 标量，矢量， 张量： 2阶张量—— 应力，应变， n阶张量 转动惯量 p σ τ M n iF 2F 2.1.1 应力的概念 应力的重要概念 应力的点的概念 一般情形,杆件横截面上不同点的应力不相同。 应力的面的概念 一般情形,过同一点不同方位截面上的应力不相 同。 应力状态的概念 一点处所有各方向面上的应力的集合称为该点的 应力状态。 2.1.1 应力的概念 引言 2.1.2 应力张量的表示方法 单元体的概念 取一包围该点的微元体（单元体）其各棱边相互垂直， 沿坐标轴方向，各棱边的长分别为dx，dy，dz 2.1.2 应力张量的表示方法 单元体是变形体的最 基本研究对象 单元体——变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元 在直角坐标系中，单元体一般取为无限小正六面体 z x y M iF nF 2F 1F z x y 应力状态的描述 单元体每个截面上，都有该点在该截面上的应力矢量（总应力） 每个总应力矢量可分解为三个分量 z x y各应力分量的记法: xyσ 作用方向 yxσ yyσ yzσ 两脚标相同—正应力 两脚标不同—切应力 zyσ zzσ zxσ σxx xyσ xzσ M iF 2F 1F nF z x y 由于单元体的尺寸可无限小，通常认为： 每个截面上的应力均匀分布； 单元体内相互平行截面上的应力相等，方向相反。 作用面的法向 2.1.2 应力张量的表示方法 应力状态的描述 截面上应力符号的规定 如果截面的外法向与坐标轴正向 同向，则与坐标轴方向同向的应力 （正应力、切应力）为正，反之为负 如果截面的外法向与坐标轴正向 反向，则与坐标轴方向反向的应力 （正应力、切应力）为正，反之为负 图示均为正的应力 z x y yxσ yyσ yzσ zyσ zzσ zxσ σxx xyσ xzσ 2.1.2 应力张量的表示方法 应力张量简介 [ ] xx xy xz yx yy yz zx zy zz σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ? ? ? ?= =? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? zzyzx yzyyx xzxyx σττ τστ ττσ 或 一点的应力状态可用围绕该点的微元体及其各面的应力,即 应力张量描述。该张量可用3×3的矩阵表示 分量记法： ( , 1, 2,3)σ =ij i j 指标记法： ( )ij ij i jσ σ σ= = e e 若记x=1，y=2，z=3，则 11 12 13 21 22 23 31 32 33 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ? ? ? ?=? ? ? ?? ? z x y yxσ yyσ yzσ zyσ zzσ zxσ σxx xyσ xzσ 2.1.2 应力张量的表示方法 切应力互等定理 ( d d )d ( d d )d 0σ σ? + =yx xyx z y y z x 研究单元体（每一面上应力均匀分 布，且不考虑体力偶） 0,=∑ zM xy yxσ σ= ( )τ τ=xy yx 切应力互等定理——在相互垂 直的两截面上,切应力总是同 时存在,二者大小相等，方向 则同时指向或背离两截面的交 线。即 ij jiσ σ= xx xy xz yx yy yz zx zy zz σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ? ? ? ?=? ? ? ?? ? 对 称 矩 阵 0,=∑