第七节 子空间的直和.ppt

§6.7 子空间的直和 高 等 代 数 第七节 子空间的直和 * * 第六章 线性空间 Linear Space 一、子空间的直和的概念 在线性空间V1 + V2中，向量 ? = ?1 + ?2（?1 ? V1 , ?2 ? V2）的表示法一般不唯一． 例如，在 R 3 中，子空间 V1 =L(e1, e2 ) , V2 = L(e1, e3 )， 其中 e1 =(1,0,0), e2 =(0,1,0), e3 =(0,0,1) , 则和空间V1 + V2中，零向量的表示法不唯一: 0 = 0 + 0 = e1 - e1 ． 注 ◆ 子空间的直和是子空间的和的一种特殊 情形. 定义 1 设 V1 , V2 是线性空间 V 的子空间， 如果 V1 + V2 中每个向量 ? 的分解式 ? = ?1 + ?2 ， ?1 ? V1 , ?2 ? V2 , 是唯一的，这个和就称为直和，记为 V1 ? V2 . 定理 1 设 V1 与V2 是线性空间V 的两个子空间则下列命题等价: (1) V1 +V2 是直和 ; (2) 零向量的分解式是唯一的, 即由 0 = ?1 + ?2 （?1 ? V1 , ?2 ? V2） 可以推出?1 = ?2 = 0 ; (3) V1 ∩V2 = {0} ; (4) dim (V1 +V2) = dimV1 + dim V2 . 二、子空间的直和的充分必要条件 ? = ?1 + ?2 = ?1 + ?2 ， ?1 , ?1 ? V1 , ?2 , ?2 ? V2 . 于是 证明 (1) (2) 根据直和的定义直接得证. (2) (3) 任取 ? ? V1 ∩ V2 ， 有 0 = ? - ? , ? ? V1 , ? ? V2 ， 由(2) 知 ? = 0, 从而 V1 ∩V2 = {0}. (3) (4) 根据维数公式直接得证. (4) (1) 任取 ? ? V, 设 ( ?1 - ?1 ) = - ( ?2 - ?2 ) , 其中?1 - ?1 ? V1 , ?2 - ?2 ? V2 . 从而 故 ?1 - ?1 = 0 , ?2 - ?2 = 0 , 即 ?1 = ?1 , ?2 = ?2 . 所以向量 ? 的分解式是唯一的, 即V1 +V2是直和. 证毕 ?1 - ?1 ? V1 ∩V2 , ?2 - ?2 ? V1 ∩V2 . V1 ∩V2 = {0}. 由 (4) 及维数公式知 定理 2 设 U 是线性空间 V 的一个子空间，那么一定存在一个子空间 W 使 V = U ? W . 即子空间的补空间一定存在. 三、子空间的补空间 定义 2 设 U 是线性空间 V 的一个子空间，若V 的子空间 W 使 V = U ? W . 则U 叫做 W 的补空间，W 也叫做 U 的补空间，或者称U 与 W 是互补子空间. 证明 取 U 的一个基 ?1 , … , ?m . 把它扩充 为 V 的一个基 ?1 , … , ?m , ?m + 1 , … , ?n . 令 W = L(?m + 1 , … , ?n ) . W 满足要求. 证毕 则 U ∩ W = {0} 且U + W = V, 例 1 在 3 维空间 P3 中，过原点的两条相交直 线的直和就是由这两条直线所确定的平面. x o y z L1 L2 L1 ? L2 例 2 设 V = P 3 ，L 是过原点的直线，? 是过 原点的平面. 令 L 上的点构成的空间为 U，? 上的 点构成的空间为W，如果 U∩W = { 0 } ，即 L 不在 ? 上，则 V = U ? W . x o y z ? L 例 3 设 V = P 3，U = L(?1 )， ?1 = (1, 1, 1)， 求 U 的补空间 W . 解 要求补空间 W，即要求 W 的一个基. 只 需把 U 的基扩充为 P 3 的基. 取 e1 = (1, 0, 0), e2 = ( 0, 1, 0), 因为向量组 ?1, e1, e2 线性无关，所以它即为