第一章（絕对误差，相对误差，有效数字）.doc

1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数 解 近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有 . 即n=3，故x=3.14有3位有效数字. x=3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字. 而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有 即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字 1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.0004 －0.00200 9000 9000.00 解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1 绝对误差限： m-n=-4,m=1则n=5,故x=2.0004有5位有效数字 =2，相对误差限 （2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m=-2 m-n=-5, m=-2则n=3,故x=-0.00200有3位有效数字 =2，相对误差限=0.0025 (3) ∵ 9000=0.9000×104, m=4， m-n=0, m=4则n=4,故x=9000有4位有效数字 ＝0.000056 (4) ∵9000.00=0.900000×104, m=4， m-n=-2, m=4则n=6,故x=9000.00有6位有效数字 相对误差限为＝0.000 00056 由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 1.3 ln2=0，精确到的近似值是多少？ 解 精确到＝0.001，即绝对误差限是?＝0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以.ln2?0.693 2.1 用二分法求方程在?1, 2?的近似根，要求误差不超过至少要二分多少？ 解：给定误差限?＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 只要取k满足即可，亦即 只要取n＝10. 2.3 证明方程1 -x –sinx ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f(x)＝1－x－sinx， ∵ f(0)=10，f(1)=－sin10 ∴ f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根.又 f ?(x)=-1－cosx0 (x?[0.1]),故f(x) 在[0，1]单调减少，所以f(x) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限?＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 只要取k满足即可，亦即 只要取n＝14. 2.4 方程在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1），迭代公式 （2），迭代公式 （3），迭代公式 （4），迭代公式 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令，则，由于 ，因而迭代收敛。 （2）令，则，由于 迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。 （3）令，则，由于 迭代发散。 （4）令，则，由于 迭代发散。 具体计算时选第二种迭代格式， n=0,1,… 计算结果如下： 2.5 对于迭代函数，试讨论： 当C取何值时，产生的序列收敛于； C取何值时收敛速度最快？ 解：（1），，由已知条件知，当 ，即 时，迭代收敛。 （2）当时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。即 ，所以时收敛最快。 2.7 试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式： (1) 不使用除法运算； (2) 不使用开方和除法运算. 解：（1）令，取，则 迭代格式为 注：若令，取，则 ，显然迭代格式不法不符合题意。 （2） 令，取，则 迭代格式 2.10 设。 写出解的Newton迭代格式。 证明此迭代格式是线性收敛的。 解：因，故，由Newton迭代公式： 得 以下证明此格式是线性收敛的 因迭代函数而又则 故此迭代格式是线性收敛的。 第三章 解线性方程组的直接方法习题及解答 （考试时二元）3.2 用列主元素消去法解线性方程组 解：第一步列选主元10，将第一和第二行交换，再消去，得 第二步列选主元，将第二和第三行交换，再消去，得