备战2016高考系列数列(教师版)配学生版.docx

数列综合一、等差等比数列技巧题例1 已知等差数列{an}中，an+1an，a1a10=160，a3+a8=37。(1)求数列{an}的一个通项公式； (2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新的数列{bn}，求Sn＝b1+b2+…+bn； [解] (1)方法1 设数列的公差为d，，即，或又，，方法2 a1+a10=a3+a8=37，又a1a10=160，∴a1，a10为方程x2-37x+160=0的两根，又an+1an，∴a1a10，∴a1=5，a10=32，∴d=3(2)例2 数列{an}是等差数列，公差d≠0，从{an}中取出部分项(不改变这些项的顺序)组成新的数列{bn}，数列{bn}恰为等比数列，且b1＝a1，b2＝a4，b3＝a10，…，(1)求数列{bn}的公比q； (2)判断a190是否为数列{bn}中的一项，并证明你的结论．[解] (1)由题意，，(2)若，则m=7。所以a100是数列{bn}中的第7项．例3 已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3…(1) 令，求证数列是等比数列；(2) 求数列的通项；(3) 设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出若不存在,则说明理由解：(1) 由已知得又是以为首项，以为公比的等比数列(2) 由（I）知，将以上各式相加得：(3) 解法一：存在，使数列是等差数列数列是等差数列的充要条件是、是常数,即又当且仅当，即时，数列为等差数列解法二：存在，使数列是等差数列由(1),(2)知，，又，当且仅当时，数列是等差数列二、不等式问题：设数列的前项的和，(1) 求首项与通项；(2) 设，，证明：解：(1) 当时，；当时，，即，利用（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q, r均为常数）的方法，解之得：(2) 将代入①得Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2) = ×(2n+1－1)(2n－1) Tn= = × = ×(－)所以, = －) = ×(－) 例5 已知数列满足(1) 求数列的通项公式；(2) 若数列{bn}滿足，证明：数列{bn}是等差数列；(3) 证明：解：(1) 是以为首项，2为公比的等比数列即　(2) 证法一：　　　　　　　　　　　　　①　　　　　　②②－①，得即③④　③－④，得　即　是等差数列证法二：同证法一，得　令得设下面用数学归纳法证明　（1）当时，等式成立（2）假设当时，那么这就是说，当时，等式也成立根据（1）和（2），可知对任何都成立是等差数列（3）证明：例6 已知函数，的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0]。数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数n都有? 并证明你的结论。【分类放缩】解析:首先求出,∵∴,∵,,…,故当时,,因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，则当时,必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.已知数列与满足：，，且．(1) 求的值；(2) 设，证明：是等比数列；(2) 设证明：．【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.(1) 解:由,,可得, 又当n=1时,,由,,得;当n=2时,,可得.当n=3时,,可得.(2) 证明：对任意,,①,②,③②-③得④,将④代入①,可得即(),又,故,因此,所以是等比数列.(3) 证明：由(2)可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由④式得从而所以，对任意，对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意例8 已知曲线C：，从C上的点作轴的垂线，交于点，在从点作轴的垂线，交C与点，设，。(1) 求的坐标；(2) 求数列的通项公式；(3) 记数列的前项和为，求证：.三、分段与周期数列例9 设数列的前和为，已知，，，，一般地，（）．(1) 求；(2) 求；(3) 求和：．解：（1）； ……3分（2）当时，（）， ……6分所以，（）． ……8分（3）与（2）同理可求得：， ……10分设=，则，（用等比数列前n项和公式的推导方法），相减得，所以． ……14分例10 已知数列，且a2k=a2k－1+(－1) k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….(1) 求a3, a5；(2) 求{an}的通项公式.解：，，即，…… ……将以上k个