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备战2016高考系列数列(教师版)配学生版.docx

发布:2017-06-16约6.22千字共23页下载文档
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数列综合一、等差等比数列技巧题例1 已知等差数列{an}中,an+1an,a1a10=160,a3+a8=37。(1)求数列{an}的一个通项公式; (2)若从数列{an}中依次取出第2项,第4项,第8项,…,第2n项,按原来顺序组成一个新的数列{bn},求Sn=b1+b2+…+bn; [解] (1)方法1 设数列的公差为d,,即,或又,,方法2 a1+a10=a3+a8=37,又a1a10=160,∴a1,a10为方程x2-37x+160=0的两根,又an+1an,∴a1a10,∴a1=5,a10=32,∴d=3(2)例2 数列{an}是等差数列,公差d≠0,从{an}中取出部分项(不改变这些项的顺序)组成新的数列{bn},数列{bn}恰为等比数列,且b1=a1,b2=a4,b3=a10,…,(1)求数列{bn}的公比q; (2)判断a190是否为数列{bn}中的一项,并证明你的结论.[解] (1)由题意,,(2)若,则m=7。所以a100是数列{bn}中的第7项.例3 已知数列中,在直线y=x上,其中n=1,2,3…(1) 令,求证数列是等比数列;(2) 求数列的通项;(3) 设的前n项和,是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,试求出若不存在,则说明理由解:(1) 由已知得又是以为首项,以为公比的等比数列(2) 由(I)知,将以上各式相加得:(3) 解法一:存在,使数列是等差数列数列是等差数列的充要条件是、是常数,即又当且仅当,即时,数列为等差数列解法二:存在,使数列是等差数列由(1),(2)知,,又,当且仅当时,数列是等差数列二、不等式问题:设数列的前项的和,(1) 求首项与通项;(2) 设,,证明:解:(1) 当时,;当时,,即,利用(其中p,q均为常数,)。(或,其中p,q, r均为常数)的方法,解之得:(2) 将代入①得Sn= ×(4n-2n)-×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2) = ×(2n+1-1)(2n-1) Tn= = × = ×(-)所以, = -) = ×(-) 例5 已知数列满足(1) 求数列的通项公式;(2) 若数列{bn}滿足,证明:数列{bn}是等差数列;(3) 证明:解:(1) 是以为首项,2为公比的等比数列即 (2) 证法一:             ①      ②②-①,得即③④ ③-④,得 即 是等差数列证法二:同证法一,得 令得设下面用数学归纳法证明 (1)当时,等式成立(2)假设当时,那么这就是说,当时,等式也成立根据(1)和(2),可知对任何都成立是等差数列(3)证明:例6 已知函数,的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0]。数列满足,记数列的前项和为,问是否存在正常数A,使得对于任意正整数n都有? 并证明你的结论。【分类放缩】解析:首先求出,∵∴,∵,,…,故当时,,因此,对任何常数A,设是不小于A的最小正整数,则当时,必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.已知数列与满足:,,且.(1) 求的值;(2) 设,证明:是等比数列;(2) 设证明:.【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.(1) 解:由,,可得, 又当n=1时,,由,,得;当n=2时,,可得.当n=3时,,可得.(2) 证明:对任意,,①,②,③②-③得④,将④代入①,可得即(),又,故,因此,所以是等比数列.(3) 证明:由(2)可得,于是,对任意,有将以上各式相加,得即,此式当k=1时也成立.由④式得从而所以,对任意,对于n=1,不等式显然成立.所以,对任意例8 已知曲线C:,从C上的点作轴的垂线,交于点,在从点作轴的垂线,交C与点,设,。(1) 求的坐标;(2) 求数列的通项公式;(3) 记数列的前项和为,求证:.三、分段与周期数列例9 设数列的前和为,已知,,,,一般地,().(1) 求;(2) 求;(3) 求和:.解:(1); ……3分(2)当时,(), ……6分所以,(). ……8分(3)与(2)同理可求得:, ……10分设=,则,(用等比数列前n项和公式的推导方法),相减得,所以. ……14分例10 已知数列,且a2k=a2k-1+(-1) k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….(1) 求a3, a5;(2) 求{an}的通项公式.解:,,即,…… ……将以上k个
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