第二章补充知识2.ppt

* * 三、泊松方程(非齐次的拉普拉斯方程) 用固有函数法求解非齐次的拉普拉斯方程的边值 问题。 我们通过举例来说明求解这类问题的要点 与步骤。 例3 在以原点为中心以1为半径的圆内，试求 泊松方程 的解， 使它满足边界条件 解 由于区域是圆域， 作极坐标变换 并记 则问题归结为 * 另法 求解 直接利用一阶线性微分方程的通解公式得 解 利用条件 即得 所以原问题的解可表示为 * 补充 用拉普拉斯变换求解 记 对方程两边作 解 拉普拉斯变换得 因此 对上式作拉普拉斯逆变换得 * 1.如下常微分方程的初值问题 (52) 的解为 (53) 2.如下常微分方程的初值问题 (63) 的解为 (64) * 对于如下泊松方程的边值问题而言： 补充 (P) (P1) 思路1 将问题(P)的解看成两部分， 令 和 分别满足 * (P1) (P2) 和 固有函数法 分离变量法(或试探法) 对于如下泊松方程的边值问题而言： 补充 (P) * (Q) 思路2 (1)找出此泊松方程的一个特解 令 (2)将泊松方程化成拉普拉斯方程 可用分离变量法或试探法求解问题(Q) 对于如下泊松方程的边值问题而言： 补充 (P) *