第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.doc

第三节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Ｋ一、二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中设有直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x)，则(1)若B0＋By＋C0则点P在直线的上方此时不等式Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；(2)若B0＋By＋C0则点P在直线的下方此时不等式Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域(注：若B为负则可先将其变为正)．由此可知二元一次不等式Ax＋By＋C0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不含边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时此区域应包括边界直线则把边界直线画成实线．由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x)，把它们的坐标(x)代入Ax＋By＋C所得到的实数的符号都相同所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x)，从＋By＋C的正负情况即可判断Ax＋By＋C0表示直线哪一侧的平面区域．特殊地当C≠0时直线不过原点通常把原点作为特殊点．二、线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x)叫做可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域)线性规划问题一般用图解法其步骤如下：(1)根据题意设出变量x；(2)找出线性约束条件；(3)确定线性目标函数z＝f(x)；(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域)；(5)利用线性目标函数作平行直线系f(x)＝t(t为参数)；(6)观察图形找到直线f(x)＝t在可行域上使t取得所求最值的位置以确定最优解给出答案．生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题．Ｋ(2013·天津卷)设变量x满足约束条件则目标函数z＝－的最小值为() A．－7　　　．－4　　　　．　　　　．2解析：可行域如图阴影部分(含边界)令z＝0得直线l：y－2x＝0平移直线l知当直线l过A点时取得最小值．由得A(5)．所以z最小＝3－2×5＝－7故选设x满足约束条件则的最大值是() A．5 B．6 C．8 D．10 解析：画出可行域如图的几何意义是点M(－1－1)与可行域内的点P(x)连线的斜率当点P移动到点(0，4)时斜率最大最大值为＝5＝2×5＝10.故选已知则x＋y的最小值是5．解析：令z＝x＋y画出可行域如图所示令d＝即可行域中的点到原点的距离dmin＝＝＝＝5.已知实数x满足条件若使z取得最大值的有序数对(x)有无数个则a＝高考方向1.以选择题、填空题的形式考查平面区域问题常常与图形面积、函数图象、曲线与方程、几何概型等问题联系在一起.2.以考查线性目标函数的最值为重点兼顾考查非线性目标函数的最值或范围问题.3.主要在选择题、填空题中出现有时也会解答题中出现考查线性规划的实际应用属中低档题. 1．(2013·湖南卷)若变量满足约束条件则x＋2y的最大值是() A．－ D. 解析：区域为三角形直线u＝x＋2y经过三角形顶点时＝最大．故选(2014·安徽卷)x满足约束条件若＝－ax取得最大值的最优解不唯一则实数a的值为() A.或－1 ．或或1 ．或－1解析：结合图形求解．约束条件对应的平面区域是以直线x＋y－2＝0－2y－2＝0和2x－y＋2＝0为边界围成的三角形若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一则a＝2或－1故选 1．已知变量x则的最大值是6．解析：先画出可行域(如图)是可行域内的点M(x)与原点(0，0)连线的斜率当直线OM过点(1)时取得最大值6.如果实数x满足若直线x＋ky－1＝0将可行域分成面积相等的两部分则实数k的值为解析：依题意直线x－y＋3＝0分别与直线x＋y－1＝0＝1的交点为A(－1)，B(1，4)，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域结合图形可知要使直线x＋ky－1＝0将该平面区域分成面积相等的两部分直线x＋ky－1＝0必过线段AB的中点(0)，于是有3k－1＝0＝课时作业1．在平面直角坐标系中若点(－2)在直线x－2y＋4＝0的上方则t的取值范围是() A．(－∞) B．(1＋∞)(－1＋∞) ．(0) 解析：将x＝－2代入直线x－2y＋4＝0中得y＝1.因为点(－2)在直线上方2．设实数x和y满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为() A．26 B．24 C．16 D．14 3．在坐标所表示的平面区域的面积为() A．2 B. C. D．2 解析：作出不等式组所表示的可行域(如图)通过解方程可得A(2，3)，C(0，－1)(0，1)，如图可知＝ACE＋S＝(xB－x)＝4．(2013·山东卷)在平面直角坐标系xOy中为不等式组所表示的区域上一动点则直线OM斜率的最小值为() A．2 B．1