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高数下册公式总结(修改版).doc

发布:2017-03-19约字共7页下载文档
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第八章 向量与解析几何 向量代数 定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示 向量 有大小、有方向. 记作或 模 向量的模记作 和差 单位向量 ,则与同向的单位向量为 方向余弦 设与轴的夹角分别为,则方向余弦分别为 点乘(数量积) , 为向量a与b的夹角 叉乘(向量积) 为向量a与b的夹角 向量与,都垂直且右手系 定理与公式 垂直 平行 交角余弦 两向量夹角余弦 投影 向量在非零向量上的投影 平面 直线 法向量 点 方向向量 点 方程名称 方程形式及特征 方程名称 方程形式及特征 一般式 一般式 点法式 点向式 三点式 参数式 截距式 两点式 面面垂直 线线垂直 面面平行 线线平行 线面垂直 线面平行 点面距离 面面距离 面面夹角 线线夹角 线面夹角 空间曲线: 切向量 切“线”方程: 法平“面”方程: 切向量 切“线”方程: 法平“面”方程: 空间曲面 : 法向量 切平“面”方程: 法“线“方程: 第十章 重积分 重积分 积分类型 计算方法 典型例题 二重积分 平面薄片的质量 质量=面密度面积 利用直角坐标系 X—型 Y—型 (2)利用极坐标系 使用原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 ); (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 ) 计算步骤及注意事项 画出积分区域 选择坐标系 标准:域边界应尽量多为坐标轴,被积函数 关于坐标变量易分离 确定积分次序 原则:积分区域分块少,累次积分好算为妙 确定积分限 方法:图示法 先积一条线,后扫积分域 三重积分 空间立体物的质量 质量=密度面积 利用直角坐标 投影法: 截面法: 利用柱面坐标 相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围: 积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单;如 旋转体 被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如 (3)利用球面坐标 适用范围: 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如,球体,锥体. 被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如, 考试不作要求,考研重点掌握 第十一章曲线积分与曲面积分 曲线积分与曲面积分 积分类型 计算方法 典型例题 第一类曲线积分 曲形构件的质量 质量=线密度弧长 参数法(转化为定积分) (1) (2) 平面第二类曲线积分 变力沿曲线所做的功 参数法(转化为定积分) 三维情形: (2)利用格林公式(转化为二重积分) 条件:①L封闭,分段光滑,有向(左手法则围成平面区域D) ②P,Q具有一阶连续偏导数 结论: 应用: (3)利用路径无关定理(特殊路径法) 等价条件:① ② ③与路径无关,与起点、终点有关 ④具有原函数 (特殊路径法,偏积分法,凑微分法) (4)两类曲线积分的联系 第一类曲面积分 曲面薄片的质量 质量=面密度面积 投影法 : 投影到面 类似的还有投影到面和面的公式 第二类曲面积分 流体流向曲面一侧的流量 (1)投影法 :,为的法向量与轴的夹角 前侧取“+”,;后侧取“”, :,为的法向量与轴的夹角 右侧取“+”,;左侧取“”, :,为的法向量与轴的夹角 上侧取“+”, ;下侧取“”, (2)高斯公式 条件:①封闭,分片光滑,是所围空间闭区域的外侧 ②P,Q,R具有一阶连续偏导数 结论: 应用: (3)两类曲面积分之间的联系 转换投影法: 所有类型的积分: 定义:四步法——分(任意分割)、匀(任意取点)、和(求和)、精(求极限); 性质:对积分的范围具有可加性,具有线性性; 第十二章 级数 高等数学(一)教案 期末总复习 - 8 - - 3 - 无穷级数 常数项级数 傅立叶级数 幂级数 一般项级数 交错 级数 正项级数 用收敛定义,存在
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