高数下册公式总结(修改版).doc
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第八章 向量与解析几何
向量代数 定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示 向量 有大小、有方向. 记作或 模 向量的模记作 和差
单位向量 ,则与同向的单位向量为 方向余弦 设与轴的夹角分别为,则方向余弦分别为
点乘(数量积) , 为向量a与b的夹角 叉乘(向量积)
为向量a与b的夹角
向量与,都垂直且右手系 定理与公式 垂直 平行 交角余弦 两向量夹角余弦 投影 向量在非零向量上的投影
平面 直线 法向量 点 方向向量 点 方程名称 方程形式及特征 方程名称 方程形式及特征 一般式 一般式 点法式 点向式 三点式 参数式 截距式 两点式 面面垂直 线线垂直 面面平行 线线平行 线面垂直 线面平行 点面距离
面面距离
面面夹角 线线夹角 线面夹角
空间曲线: 切向量
切“线”方程: 法平“面”方程:
切向量
切“线”方程: 法平“面”方程:
空间曲面
: 法向量
切平“面”方程:
法“线“方程:
第十章 重积分
重积分 积分类型 计算方法 典型例题
二重积分
平面薄片的质量
质量=面密度面积 利用直角坐标系
X—型
Y—型 (2)利用极坐标系
使用原则
(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 );
(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 )
计算步骤及注意事项
画出积分区域
选择坐标系 标准:域边界应尽量多为坐标轴,被积函数
关于坐标变量易分离
确定积分次序 原则:积分区域分块少,累次积分好算为妙
确定积分限 方法:图示法 先积一条线,后扫积分域
三重积分
空间立体物的质量
质量=密度面积 利用直角坐标
投影法:
截面法: 利用柱面坐标
相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标
适用范围:
积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单;如 旋转体
被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如 (3)利用球面坐标
适用范围:
积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如,球体,锥体.
被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如,
考试不作要求,考研重点掌握
第十一章曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分 积分类型 计算方法 典型例题
第一类曲线积分
曲形构件的质量
质量=线密度弧长 参数法(转化为定积分)
(1)
(2)
平面第二类曲线积分
变力沿曲线所做的功 参数法(转化为定积分)
三维情形:
(2)利用格林公式(转化为二重积分)
条件:①L封闭,分段光滑,有向(左手法则围成平面区域D)
②P,Q具有一阶连续偏导数
结论:
应用: (3)利用路径无关定理(特殊路径法)
等价条件:① ②
③与路径无关,与起点、终点有关
④具有原函数
(特殊路径法,偏积分法,凑微分法) (4)两类曲线积分的联系
第一类曲面积分
曲面薄片的质量
质量=面密度面积 投影法
: 投影到面
类似的还有投影到面和面的公式
第二类曲面积分
流体流向曲面一侧的流量 (1)投影法
:,为的法向量与轴的夹角
前侧取“+”,;后侧取“”,
:,为的法向量与轴的夹角
右侧取“+”,;左侧取“”,
:,为的法向量与轴的夹角
上侧取“+”, ;下侧取“”, (2)高斯公式
条件:①封闭,分片光滑,是所围空间闭区域的外侧
②P,Q,R具有一阶连续偏导数
结论:
应用: (3)两类曲面积分之间的联系
转换投影法:
所有类型的积分:
定义:四步法——分(任意分割)、匀(任意取点)、和(求和)、精(求极限);
性质:对积分的范围具有可加性,具有线性性;
第十二章 级数
高等数学(一)教案 期末总复习
- 8 -
- 3 -
无穷级数
常数项级数
傅立叶级数
幂级数
一般项级数
交错
级数
正项级数
用收敛定义,存在
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