高数下册公式总结.docx
文本预览下载声明
总结归纳 | 借鉴参考
8 -
PAGE 2
word文档 | 实用可编辑
第八章 向量与解析几何
向量代数
定义
定义与运算的几何表达
在直角坐标系下的表示
向量
有大小、有方向. 记作或
模
向量的模记作
和差
单位向量
,那么
方向余弦
设与轴的夹角分别为,那么方向余弦分别为
点乘〔数量积〕
,为向量a与b的夹角
叉乘〔向量积〕
为向量a与b的夹角
向量与,都垂直
定理与公式
垂直
平行
交角余弦
两向量夹角余弦
投影
向量在非零向量上的投影
平面
直线
法向量 点
方向向量 点
方程名称
方程形式及特征
方程名称
方程形式及特征
一般式
一般式
点法式
点向式
三点式
参数式
截距式
两点式
面面垂直
线线垂直
面面平行
线线平行
线面垂直
线面平行
点面距离
面面距离
面面夹角
线线夹角
线面夹角
空间曲线:
切向量
切“线〞方程:
法平“面〞方程:
切向量
切“线〞方程:
法平“面〞方程:
空间曲面
:
法向量
切平“面〞方程:
法“线“方程:
或
切平“面〞方程:
法“线“方程:
第十章重积分
重积分
积分类型
计算方法
典型例题
二重积分
平面薄片的质量
质量=面密度面积
利用直角坐标系
X—型
Y—型
〔2〕利用极坐标系
使用原那么
(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段 );
(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含,为实数)
〔3〕利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当D关于y轴对称时,〔关于x轴对称时,有类似结论〕
计算步骤及本卷须知
画出积分区域
选择坐标系 标准:域边界应尽量多为坐标轴,被积函数
关于坐标变量易别离
确定积分次序 原那么:积分区域分块少,累次积分好算为妙
确定积分限 方法:图示法 先积一条线,后扫积分域
计算要简便 注意:充分利用对称性,奇偶性
三重积分
空间立体物的质量
质量=密度面积
利用直角坐标
投影
利用柱面坐标
相当于在投影法的根底上直角坐标转换成极坐标
适用范围:
eq \o\ac(○,1)积分区域外表用柱面坐标表示时方程简单;如旋转体
eq \o\ac(○,2)被积函数用柱面坐标表示时变量易别离.如
〔3〕利用球面坐标
适用范围:
eq \o\ac(○,1)积分域外表用球面坐标表示时方程简单;如,球体,锥体.
eq \o\ac(○,2)被积函数用球面坐标表示时变量易别离.如,
〔4〕利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
第十一章曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分
积分类型
计算方法
典型例题
第一类曲线积分
曲形构件的质量
质量=线密度弧长
参数法〔转化为定积分〕
〔1〕
〔2〕
〔3〕
平面第二类曲线积分
变力沿曲线所做的功
参数法〔转化为定积分〕
〔2〕利用格林公式〔转化为二重积分〕
条件:①L封闭,分段光滑,有向〔左手法那么围成平面区域D〕
②P,Q具有一阶连续偏导数
结论:
应用:
〔3〕利用路径无关定理〔特殊路径法〕
等价条件:①②
③与路径无关,与起点、终点有关
④具有原函数
〔特殊路径法,偏积分法,凑微分法〕
〔4〕两类曲线积分的联系
空间第二类曲线积分
变力沿曲线所做的功
〔1〕参数法〔转化为定积分〕
〔2〕利用斯托克斯公式〔转化第二类曲面积分〕
条件:①L封闭,分段光滑,有向
②P,Q,R具有一阶连续偏导数
结论:
应用:
第一类曲面积分
曲面薄片的质量
质量=面密度面积
投影法
:投影到面
类似的还有投影到面和面的公式
第二类曲面积分
流体流向曲面一侧的流量
〔1〕投影法
eq \o\ac(○,1)
:,为的法向量与轴的夹角
前侧取“+〞,;后侧取“〞,
eq \o\ac(○,2)
:,为的法向量与轴的夹角
右侧取“+〞,;左侧取“〞,
eq \o\ac(○,3)
:,为的法向量与轴的夹角
上侧取“+〞,;下侧取“〞,
〔2〕高斯公式右手法那么取定的侧
条件:①封闭,分片光滑,是所围空间闭区域的外侧
②P,Q,R具有一阶连续偏导数
结论:
应用:
〔3〕两类曲面积分之间的联系
转换投影法:
所有类型的积分:
eq \o\ac(○,1)定义:四步法——分割、代替、求和、取极限;
eq \o\ac(○,2)性质:对积分的范围具有可加性,具有线性性;
eq \o\ac(○,3)对坐标的积分,积分区域对称与被积函数的奇偶性。
第十二章 级数
““““““““““““““““““
““““““““““““
““““““
““““““
““““
““““““
“““““
““““““““““
“““““““““““
“““““““““““
eq \o\ac(○,”)“““““““““““““““““““?”“ eq \o\ac(○,”)““““““““““““?”““““““““““““
显示全部