高中数学必修4第二章平面向量的概念线性运算基本定理及坐标表示与向量的数量积知识点与同步练习.doc

第二章 平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积 一、向量的概念 1.向量：既有大小有方向的量叫做向量. 只有大小没有方向的量称为数量. 2.几何表示: 向量可以用有向线段表示. 长度：向量的大小,也就是向量的长度(或称模),记做. 向量也可用字母（印刷用黑体，手写用）或用表示向量的有向线段的起点和终点表示.例如，，. 零向量：长度为0的向量.记做. 单位向量: 长度为1的向量. 平行向量: 方向相同或相反的向量.记作. 规定: 零向量与任一向量平行. 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 记做. 注意: 向量相等与有向线段的起点无关. 共线向量:任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量. 二、平面向量的线性运算(向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算) 1.向量加法的三角形法则 已知非零向量、，在平面内任取一点，作，，则向量叫做 和的和，记做，即 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种方法称为向量加法的三角形法则. 2.向量加法的平行四边形法则 以同一个点为起点的两个已知向量、为邻边作,则以为起点的对角线是与的和,即.此法叫做向量加法的平行四边形法则. 规定：对零向量与任一向量， 3.小结论 对任意向量、，有； 当、同向时，； 当、反向是，（或） 4.向量加法交换律：；向量加法结合律： 5.与长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量.规定：零向量的相反向量是零向量. 6.向量减法的几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 7.向量的数乘：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： (1) ； (2) 当时,的方向与的方向相同；当时,的方向与的方向相同. 8.数乘的运算律： (1) ; (2) ; (3) . 9.向量共线充要条件:向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使. 三、平面向量的基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理 如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一个实数、，使得 把不共线的向量、叫做这一平面内所有向量的基底. 2.向量的夹角 已知两个非零向量，作，，则 叫做向量与的夹角. 如果与的夹角是，称与垂直，记作. 当时，同向；当时，反向. 3.正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 4.向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，由平面基本定理可知，有且只有一对实数、，使得 这样，平面内的任一向量都可以由、唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作.其中，分别叫做在轴上，在轴上的坐标. 在平面直角坐标系内，每个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示. 5.平面向量的坐标运算 (1) 若，，则； (2) 若,则； (3) 若,，则. 6.平面向量共线的坐标表示 设,,则向量共线的充要条件为. 7.设,.(1) 若是的中点，则； (2) 若，则. 前三部分总结 1.向量相等(长度和方向). 2.加法的三角形法则(首尾相连)、四边形法则(起点相同)及其几何意义. 注意与平面几何相结合 小结论：(1)为的重心(中线的交点) ； (2)为的外心 3.共线(平行)向量. (1) ； (2) 三点共线. 4.平面向量基本定理 四、平面向量的数量积： 1、向量的夹角概念： 对于两个非零向量，如果以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，其中． 2、向量的数量积概念及其运算： （1）定义:如果两个非零向量的夹角为，那么我们把叫做向量与向量的数量积，记做 即：． （2）投影：在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0 （3），，则 3、向量的夹角公式： 4、向量的模长： 5、平面向量的平行与垂直问题：（1）若，，，则 （2）若，，，则 例： 一、平面向量的数量积的应用： 1、向量数量积定义的应用 〖例1〗（1）已知向量的夹角为，求 （2）已知求：①；②若，求的坐标 2、向量的夹角问题 〖例2〗（1）已知向量、都是非零向量，且向量与向量垂直，向量与向量垂直，求向量与的夹角。 （2）若向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围 基础练习： 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ） A．e1=(0,0) e2 =(1,－2) B．e1=(-1,2)e2 =(5,7); C．e1=(3,5)e2 =(6,10); D．e1=(2,-3) e2 =