概率4.1节-特征函数.ppt.pdf

§4.1 特征函数 定义：设X为一个随机变量，称 (t)  E(eitX ), t  为X的特征函数。 由| eitX |1 知，任意随机变量的特征 函数均存在。 若离散r.v.X的分布列为p k P (X x k ),k 1,2, 则X的特征函数为  itx (t) e k p ,  t  k k 1 若连续r.v.X的密度函数为p(x),则X的特 征函数为  (t)   eitx p(x)dx, t  特征函数的性质 1. |(t) |(0) 1. 2. (t) (t), 其中(t)表示(t)的共轭复数 3. 若Y aX  b, 其中a, b为常数，则  (t) eibt (at) Y X 4. 若X 与Y独立，则 反之不成立！  (t)  (t) (t) 见习题4.1.11 X Y X Y 5.若E (X l )存在，则X 的特征函数(t )有l 阶导数, (k ) k k 且对1k l ,有 (0) i E (X ). 6. r.v.X的特征函数在R上一致连续。 7. r.v.X的特征函数是非负定的，即 对任意的正整数n，任意n个实数 t1,t2 ,…,tn和n个复数z1,z2 ,…,zn,有 n n (t t )z z 0. k j k j k 1 j 1 逆转公式：设F(x)和(t) 分别是X的分布函数 和特征函数，则对F的任意两个连续点x1x2 ,有 itx itx 1 T e 1 e 2 F (x ) F (x ) lim (t )dt 2 1 T  2 T it 唯一性定理：随机变量的分布函数和特征函 数相互唯一确定。 特别地，对于连续r.v.，若其特征函数满足   |(t ) | dt ,则 1  itx p (x ) 2 e (t )dt 常用分布的特征函数 1. 离散情形 (t) ( peit q)n 二项分布：