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固体物理基础 第五章：金属的电子理论 赵纪军 大连理工大学 物理与光电工程学院 本章目录 1. 一维和三维的自由电子气体模型 2. 自由电子气体模型下的金属物理性能 1. 一维和三维的自由电子气体模型 • 一维自由电子的能级 • Fermi-Dirac分布与温度效应 • 三维自由电子气体 • 低维体系：一维，二维，三维 自由电子模型总结 • 通过自由电子模型理解金属（不仅是简单金属）的许多物理 性质，金属原子的价电子公有化成为传导电子，自由移动。 • 在该模型中，离子镶嵌在自由传导电子的“海洋”中。 Atom = Ion + Valence electrons Ion = Nucleus + Core electrons 自由电子模型总结 • 即使在金属中，传导电子的电荷分布（charge distribution）收到 离子芯强烈静电势的影响。因此，自由电子模型描述传导电子的运 动特性（kinetic properties）最为合适。传导电子与离子之间的相 互作用将在能带理论中讨论。 • 最简单的金属是碱金属：Li, Na, K, Rb, Cs 。在这些单价金属中，N 原子构成的晶体有N 个电子和N 个正离子。 • 自由电子模型产生于在量子理论建立之前。经典Drude模型成功导 出欧姆定律（Ohm’s law），以及电导和热导的关系。但是，由于 使用了Maxwell经典统计分布，它不能解释比热容（heat capacity） 和磁化率（magnetic susceptibility ）。后来Sommerfeld在量子理 论基础上重建了该模型。 为什么自由电子模型能够成功？ • 根据实验，金属中的传导电子可以沿直线自由运动很多个原 子距离而不会发生与其他传导电子或离子芯的碰撞而发生偏 转。例如，在低温纯净金属样品平均自由程 （mean free path）可达108 倍原子间距(1 cm) 。 • 为什么晶体对于传导电子如此“透明”（transparent ）？ a) 传导电子的物质波在周期结构中能够自由传播，而不受 到离子晶格周期势场的偏转。 b) 由于泡利不相容原理，传导电子受到其他传导电子散射 的可能性比较低。 一维（1D）自由电子 • 在量子理论和泡利不相容原理的基础上，考虑在一维盒子中 的自由电子：在边长L 的盒子中禁闭了一个质量为me 的电 子，两边有无限高势垒。 • 忽略离子- 电子势能，仅仅考虑电子动能，于是可以写出电 子的Schrödinger方程： 2 2 d  n  E  2m dx2 n n e 这里E 是电子的轨道能量。 n • 如果不考虑电子- 电子相互作用，N 个电子系统的严格量子 态，就等于将这N 个至于N 个不同的单电子轨道上。 一维（1D）自由电子 • 两端无限高势垒对波函数的边界条件是： =(0);  (L)=0 。 n n • 在量子力学中，我们知道这种1D盒子的解为：  2   n = A sin  