同济第3版-高数-(3.3) 第三节 泰勒公式.ppt

微积分的研究对象是函数，通过函数表达 式来讨论函数的各种性状，这一过程离不开函 数值的计算。然而在初等函数中，除多项式外, 其它各类函数实际上均无法直接计算函数值， 这自然给函数性质的讨论带来很多困难。于是 就提出了一个函数研究的基本问题： 一般的函数能否像多项式那样用加、减、 乘、除这四种基本运算表出，即一般函数是否 可表示为多项式函数。 从几何上看，用多项式函数表示一般函数应该是可 能的。因为不论是多项式函数还是一般函数，几何上都 表示一条曲线，用多项式 P n( x ) 表示函数 f( x )就是使二者对应 的曲线相拟合。 从实际运作角度考虑， 这种拟合应是逐点进行的， 为此可将多项式函数写成： P n( x )= a 0 + a1( x - x 0 )+ a 2( x - x 0 )2 + … + a n( x - x 0 )n. (1) 理论和实际上的可行性 考虑在点 x = x 0 的邻域内用多项式 P n( x )表示函数 f( x )，就是选择合当系数 a 0 ,a1,a 2,… , a n，使多项式 曲线 y = P n( x )与函数曲线 y = f( x )尽可能“吻合”。 从理论和实际两个方面考虑，选择多项式 P n( x ) 的适当系数 a 0 ,a1,a 2,… , a n 在点 x 0 的邻域内表示函数 f( x )应满足两个基本要求： 有较好的精度，使得 f( x )? P n( x )； 能够估计误差，即能对误差 R n( x )= f( x )- P n( x )作 定量的计算。 (2) 多项式系数的选择及相应条件的设置 从几何直观考虑，为满足这两个基本要求可考虑给 多项式 Pn( x )设置适当的条件，于是选择 Pn( x )系数的 问题归结为对 P n( x )设置合理的条件问题。 多项式曲线 y = P n( x )与函数曲线 y = f( x )在点 x 0 处相交，即有 Pn( x 0 )= f( x 0 ). 为使曲线拟合得好，考虑再使多项式曲线 y = Pn( x ) 与函数曲线 y = f( x )在点 x 0 处不仅相交，而且相切，即 有 P n( x 0 )= f( x 0 )，P ? n( x 0 )= f ?( x 0 ). 基本条件 改善性条件 进一步改善性条件 为使曲线拟合得更好，进一步考虑再使多项式曲线 y = P n( x )与函数曲线 y = f( x )在点 x 0 处不仅相交、相 切，且具有相同的凹向及凹凸度，即有 Pn( x 0 )= f( x 0 ),P ?n( x 0 )= f ?( x 0 ),P ??n( x 0 )= f ??( x 0 ). 由改善性条件的几何意义容易想到，若多项式曲线 y = P n( x )与函数曲线 y = f( x )在点 x 0 处直至 n 阶的导 数均相等，其拟合精度应会更好，于是进一步假定有 归纳性改善性条件 (3) 确定拟合多项式 由于 n 次多项式 Pn( x )共有 n + 1 个系数，即 Pn( x )= a 0 + a1( x - x 0 )+ a 2( x - x 0 )2 + … + a n( x - x 0 )n. 确定 n + 1 个系数只需 n + 1 个条件，而上述条件已有 n + 1 个，即 因此当 P n( x )满足这些条件时， 其系数已经确定了，即 P n( x )已 是确定的 n 次多项式了。于是 只需根据这组条件写出 P n( x ) 即可。 由 Pn( x 0 )= f( x 0 )有 f( x 0 )= Pn( x 0 )= a 0 + a1( x - x 0 )+ a 2( x - x 0 )2 + … ， 求得 a 0 = f( x 0 )； 由 P ?n( x 0 )= f ?( x 0 )有 f ?( x 0 )= P ?n( x 0 )= a 1 + 2a2( x - x 0 )+ 3a 3( x - x 0 )2 + … 求得 a 1 = f ?( x 0 )； 由 P ?n( x 0 )= f ?( x 0 )有 f ?( x 0 )= P ?n( x 0 )= 2?1a 2 + 3?2a 3( x - x 0 ) + … 由 P ??n( x 0 )= f ??( x 0 )有 f ???( x 0 )= P ???n( x 0 )= 3?2?1a 3 + 4?3?2a4( x