累积量.doc
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累积量（半不变量）
一、 随机变量：
1、设随机变量的阶矩存在，把它的特征函数按Taylor级数展开而得重要公式：
（1）
由特征函数性质知：的前级导数在点存在，令
（2）
称为随机变量的阶累积量（半不变量），显然有
（3）
通过比较（1）和（3）可得到累积量与矩之间的关系，详见[1].
2、累积量具有下列性质：
a．如随机变量、独立，且它们的阶累积量，存在，则的阶累积量为：
（4）
b．在变换下，累积量（除一阶外）不变，为常数.
二、随机向量：
1、设是随机向量，函数是的特征函数.
令，则将展开为Taylor级数，得：
（5）
其中是阶（混合）矩.
由特征函数性质知，可以在表示为Taylor公式：
（6）
其中
我们称为随机向量的阶（混合）累积量（半不变量）.
2、累积量的性质：
a．如随机向量、独立，且它们的阶累积量，存在，则的阶累积量为：
（7）
b.累积量与矩的关系：
为简化记号，对具有非负整数分量的向量，令
(8)
设是随机向量， 则有：
（9）
（10）
其中表示对于一切满足的”有序非负整数分量的向量”求和。
更一般的形式，
（11）
（12）
其中表示对于一切满足的”有序正整数的数组”求和.
参考文献：
[1]王梓坤.概率论基础及其应用.第3版.北京师范大学出版社.2007
[2]A.H.施利亚耶夫.概率.第一卷.周概容译.第3版.高等教育出版社.2007
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