数值计算基本概念.doc

数值计算基本概念 概述 关键词：CFD、微分方程(离散方程、连续解(离散点上的解 CFD 数值流体力学一般称为CFD(Computational Fluid Dynamics), 为流体力学的一个重要支柱。CFD即利用离散方法(discretization method), 将微分方程简化成代数方程式，通过计算机近似求解流体微分方程的方法。它的解是一些小的空间和时间上的区域上的解，称为离散点。CFD 同理论、实验并列。被人注目的理由之一是，它为计算机利用的力学（计算力学）的一面，特别是它为超级计算机的重要利用领域之一。此外，利用高度的图形处理，可将其结果表示非常美丽的图象，对年轻人非常有魅力。因此，流体的数值模拟，在许许多多的领域内得到了利用。有许多人是在对数值计算方法了解的基础上，自己编程进行模拟。也有相当一部分人是用商用程序进行模拟。 CFD包括面很广泛，从采用良好的工程设计方法，到详细求解Navier-Stokes方程；从简单流动到非常复杂的流动。简单的可能在几秒时间内就能完成，复杂的需要在最大的超级计算机上用几百个小时才能完成。 完美的CFD应满足以下条件： 适用任何问题 计算速度快 能得到精度高且可信度高的结果 程序简单，谁都能简单使用 记忆容量少 其实不然，以上的要求相互矛盾，至今无一程序能满足。 提醒：连续介质(Navier-Stokes, 非连续介质(Boltzman 微分方程的求解方法 将连续的数据用离散的数据来记录，称为离散化（discretization）。在离散的点之间用光滑曲线通过内插来连接。这样，即使对于假的离散数据，只要在头脑内想象成连续的函数即可认为在对微分方程进行求解。这样，只要已知现在的时间和空间，就可根据这些离散数据对想象进行预测。 数值流体力学的问题一般是要了解每时每刻流场的变化过程。即对支配方程式进行积分求解。实际上是求空间离散点（网格）上的压力、速度等物理量。 图示：离散化、控制方程、压力，速度，温度 数值求解方法的基本组成 关键词：数学模型、方程离散化方法、坐标、空间离散、网络、求解方法、收敛准则 数学模型 控制方程类型（提醒：主导方程、支配方程） 基本偏微分方程的形式: （2D） 提醒：微分形式和积分形式 （ 01 ） 提醒：空间:x, y 时间—空间：t,x; t,x,y 对于求解域内的任一点(xo, yo) 双曲型方程: , 过该点有两条实的特征线 如当ac0 异号，，波动方程 抛物型方程: , 过该点有一条实的特征线 如当ac=0 ，，非稳态导热 椭圆型方程: , 过该点无实的特征线 如当ac0同号，，稳态导热 椭圆型方程 相当于平衡问题或稳态问题。影响区域是椭圆的。与时间无关。空间的闭区域。又称为边值问题。 例如：稳态导热问题。稳态扩散问题。 求解特征：所有点联立求解。用直接法或迭代法。 提示：稳态、边值、相互影响 抛物型方程 时间步进性问题或相当于时间的步进性问题。又称为初值问题。影响区域以特征线为分界线，与主流方向垂直。 例如：1D非稳态导热（时间步进）；2D稳态边界层型的流动和换热问题（扩散忽略，主流方向步进） 求解特征：从已知的初值开始，逐步推进，依存获得适合定边界的解。求解代数方程的量可为一维的，可节约容量。 物理意义：分布与瞬时以前的情况和边界条件相关。（时间步进） 下游的分布仅与上游的变化相关（主流步进）x 双曲型方程 也是步进问题。但依赖区域仅在两条特征区域之间。 例如：无粘性流体的非稳态问题；无粘性流体的稳态超音速流动。 流动类型 偏微分方程组或积分方程组及边界条件。必须选择应用的目标： 不可压缩((可压缩 非粘性的((粘性 湍流((层流 2维或3维 单相((多相 。。。 由此可以选择不同的简化守恒方程。 控制方程的离散化方法(discretization method) 有限差分法(finite difference method FDM) 微分方程 使用网络节点，选择微分的近似方法。 将区域离散成有限个网格，通常为结构化网格； 选择方程各项的差分形式（Taylor展开）； 对每个节点建立差分方程； 整理出关于节点上未知数的非线性代数方程式。 提示：网格、微分方程、差分形式、差分方程、代数方程 有限体积法(finite volume method FVM) 积分方程 使用控制体积，选择表面和体积积分的近似方法。 将区域离散成有限个控制体积，适用任何形状的网格； 选择未知函数对时间和空间的局部分布曲线（线性或曲线分布）； 对每个CV进行空间（表面、体积）和时间的积分； 整理出关于节点上未知数的代数方程式。 特点：适用任何形状的网格，可用复杂几何形状 与坐标类型无关 提示：网