数值计算的基本概念.ppt

例1解:3216…失之毫厘,差之千里！原因——误差的传播与累积第6页,共29页，星期六，2024年，5月二、误差的基本概念(从误差度量上来说)1.绝对误差定义：设某量的准确值为x，是x的近似值，绝对误差限。例2电流表、电压表等仪器。例3通常x是未知的，故未知，但一般地?已知。绝对误差不是误差的绝对值，即可正可负。*的绝对误差。为x称*-=xxxe)(第7页,共29页，星期六，2024年，5月2.相对误差定义：设某量的准确值为x，是x的近似值，准确值之比为的相对误差。称δ为的相对误差限。例4解:但是的一个好的近似，不是的好的近似.称绝对误差与Why?第8页,共29页，星期六，2024年，5月近似值的相对误差是近似值精确度的基本度量，一个近似值的相对误差越小，则近似值越精确。结论:通常将作为的相对误差。较小时相对误差限δ是未知的，但可以确定是一个无量纲的数，。第9页,共29页，星期六，2024年，5月三、有效数字定义：设x为准确值，为x的近似值且可表示为若的绝对误差其中为0,1,…,9中的一个数字。误差不超过m-n位的半个单位即有n位有效数字，或说准确到m-n位。字为的有效数字，记为n，则称该位到的第一位非零数满足，有效数字的位数不能仅考虑例55位有效数字1位有效数字第10页,共29页，星期六，2024年，5月一个十进制数近似值的有效数字，不受单位制的影响。如作为的近似值，与均为3位有效数字。在有效数意义下，不同的有效数位数的近似值的近似精度是不同的。如10.4200的精度高于10.42：前者的绝对误差不超过：后者的绝对误差不超过：结论：有效数字与绝对误差有一定的关系。对于某量的近似值，如果有ｎ位有效数字，当ｍ一定时，ｎ越大则相对误差越小。第11页,共29页，星期六，2024年，5月定理（有效数字与相对误差的关系）：设近似值x*表示为若x*具有n位有效数字，则其相对误差限为反之，若x*的相对误差限则x*至少具有ｎ位有效数字。第12页,共29页，星期六，2024年，5月证明：由x*的表达式可得：又由定义可知有效数位越多，相对误差越小所以反之，则有：因此，x*具有n位有效数字。第13页,共29页，星期六，2024年，5月例6为使的近似值的相对误差小于1%，问需要取多少位有效数字？解：的近似值的首位数字于是由可解得。因此，可取即。第14页,共29页，星期六，2024年，5月§3算法的稳定性与病态问题在数值计算中，由于初始数据的误差在计算过程中的传播使得计算结果的误差很快增长，就称该问题是数值不稳定的。定义：一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。一、算法稳定性定义例7计算，并估计误差。由部分积分公式，可得第15页,共29页，星期六，2024年，5月nn00.632150.148010.367960.112020.264270.216030.20748-0.718040.170497.552可以计算出下表：按递推关系第16页,共29页，星期六，2024年，5月现将递推公式改写为：，且有于是，取n=9，则有在此，取因此，可得新的递推公式：确定递推计算的初值第17页,共29页，星期六，2024年，5月nn00.632150.145510.367960.126820.264370.112130.207380.103540.170890.0684由上面的递推公式，可得到