数值计算与方法课件-CH6 逐次逼近法—6.1 基本概念 .ppt

华长生制作 * 第六章 逐次逼近法 6.1 基本概念 主要内容 基本概念 向量与矩阵的范数 误差分析 解线性方程组的迭代法 简单迭代法 迭代法的收敛性 非线性方程的迭代解法 简单迭代法 Newton迭代法及其变形 线性方程 组求解 { 逐次逼近法 直接法 逐次逼近法: 一种规则——由已知元素或已求得元素求出后继元素, 形成序列. 以此序列的极限过程逐步逼近数值问题的精确解. 两种方法选取的一般原则： 直接法: 小型线性方程组、系数矩阵较特殊的数值问题 逐次逼近法: 大型线性方程组、非线性方程 采用不同的规则, 形成不同的逐次逼近法： 迭代法 —— 规则可以用数值问题的等价表达式表示； 根的搜索法 —— 区间两端点函数值乘积 1.1 向量与矩阵范数 本章涉及的量主要是向量与矩阵, 无法用解析几何中普通长度来度量向量的大小和它们之间的距离。 定义1.1 Rn 空间的向量范数 || · || 对任意 满足下列条件: （正定性) 对任意 (齐次性) （三角不等式) 一、向量范数 常用向量范数： 向量的2-范数／欧拉范数 向量的∞范数／最大范数 向量的1范数 向量的 p 范数 设 ? ? ? xi的共轭复数 二、矩阵范数 常用的矩阵算子范数（P205） A的行范数等于A中每一行所有元素绝对值和的最大值 A的列范数等于A中每一列所有元素绝对值和的最大值 特征方程为 定义1.4（P206） 1.2 误差分析——方程组的性态 数值问题的性态会对问题的计算解精度产生很大影响. 定义1.5（P207）如果线性方程组Ax=b中，A或b的元素的微小变化，就会引起方程组解的巨大变化，则称该方程组为“病态”方程组，矩阵A称为“病态”矩阵。否则称方程组为“良态”方程组，矩阵A称为“良态”矩阵。 度量方程组的性态！ 定义1.6 （P208） 设 A 为非奇异矩阵, || · ||为矩阵的算子范数,则称 为矩阵 A 的条件数. 算子范数不同对应着不同的条件数,常见的条件数有: 条件数刻画了线性方程组中原始数据变化对解的影响： 当cond(A) 较大时,A 和 b 的元素有较小变化时,可能造 成解的相对误差很大,方程组是“病态”的； 当cond(A) 较小时,方程组是“良态”的. 在实际求解线性方程组时,为了判断方程组的性态,除了可以用条件数以外,常用以下直观的判断方法（P209）： (3) 用主元消去法求解时出现小主元； (2) 矩阵 A 的某些行 (或列) 几乎线性相关； (1) 矩阵 A 的元素间数量级相差很大, 且无规律； (P33,例1) (4) 当 的 很小时, 作为解的精度仍然很差或不符合要求. 如果一个方程组出现上述情况之一, 方程组可能“病态”. “病态”方程组常用的特殊处理方法和措施(P210)： （1）提高原始数据和运算的精度，如原始数据和 运算采用双精度等； （2）用适当方法改善原始模型的性态,例如对矩阵A进行某种预处理以降低矩阵A的条件数；（见P210：例3） （3）针对具体问题选用有效的数值方法.对于不十分严重病态的线性方程组，常选用迭代改善法来计算.（P216：迭代改善法） * * * *