应用数理统计参数估计.ppt

参数估计 一、参数的点估计 点估计：通过样本求出总体参数的估计值 点估计方法：总体X的分布已知，但其参数未知。对总体进行随机抽样，用样本 X1, X2 , ? , Xn 构造合适的统计量作为参数? 的估计量 若抽取的样本值为x1, x2 , ? , xn ,则 就是?的估计值。 点估计方法分为矩法和极大似然法。 1.矩法估计 设X1, X2 , ? , Xn为总体X的样本, 样本的k阶原点矩： 样本的k阶中心矩： 矩法估计就是用样本矩作为相应的总体矩 的估计量。 矩法估计 设总体X分布函数中包含m个未知参数 ?1, ?2,?,?m，总体X的k阶矩 vk=E(Xk)= vk(?1, ?2,?,?m),k=1,2,?,m, 以样本矩Ak作为总体矩vk的估计，即 由m个方程解出?1, ?2,?,?m， 就是总体参数?k的 估计量，称为矩估计量。 矩法估计 对具体抽取的样本值x1, x2 , ? , xn，则 为?k的估计值。 2.极大似然估计 设连续型总体X的概率密度函数为f(x; ?), ?是未知参数，简单随机样本X1, X2 , ? , Xn的联合概率密度函数为 对于样本的观察值x1, x2 , ? , xn， 称为似然函数。 极大似然估计 极大似然估计法就是选取参数值 作为 参数?的估计值，使样本落在观察值 (x1, x2 , ? , xn)的邻域里的概率 达到最大。对固定的(x1, x2 , ? , xn)就是 选取 ，使 达到最大，即 L(?)达到最大。 极大似然估计 定义：对固定的样本值(x1, x2 , ? , xn)，若 有 (x1, x2 , ? , xn) 使得 则称 是参数?的极大似然估计值，相应 的 (X1,X2,?,Xn )是参数?的极大似然估 计量。 由于L(?)与lnL(?)有相同的极值，通 常取对数似然函数求极值。 极大似然估计 求极大似然估计的步骤： 由总体的密度函数f(x; ?)，写出似然函 数 求出对数似然函数lnL 求出 , 并令其为0，解出? 即得 极大似然估计 注： 对离散型总体X，用分布律p(x; ?)代替f(x; ?)，做法与连续型总体一样。 对总体分布中含多个未知数的情况 由 解出?i即为 3.估计量优良性的评定标准 无偏性 设 是?的估计量，若E( )=?，则称 是?的无偏估计量。 有效性 设 都是?的无偏估计量，若 D( )D( )，则称 比 有效。 一致性 是?的一致估计量，即对任意正数?0 二、参数的区间估计 区间估计： 根据样本求出未知参数的估计区间，使这个区间包含未知参数的可靠程度达到预定的要求。 参数的区间估计 定义：设总体X的分布含未知参数?，由样本X1, X2 , ? , Xn确定两个统计量 ?1(X1, X2 , ? , Xn)， ?2(X1, X2 , ? , Xn) 如果对于给定的?(0?1)， 有 P{?1? ?2 } =1-?, 则称随机区间(?1，?2 )为的置信区间， 1-?称为置信度, ?1称为置信下限， ?2称为置信上限， 区间估计就是求置信区间(?1，?2 )。 参数的区间估计 求置信区间的一般方法： 构造合适的包含待估参数?的统计量U, U 的分布已知 给定置信度1-? ，按照 P{U1U U2 } =1-? 求U1，U2，使得满足 参数的区间估计 将P{U1U U2 } =1-?换成P{?1? ?2 } =1-?，这里(?1，?2 )即为置信度1-?的置信区间。 注： 这里的U2就是U的分布的 上分位点 若密度函数为偶函数，则 参数的区间估计 参数的区间估计 1.正态总体数学期望的区间估计 总体X~N(?, ?2)，E(X)= ? ， D(X)= ?2 样本X1, X2 ,?, Xn , Xi~N(?, ?2)，i=1,2, ?,n 正态总体数学期望的区间估计 分两种情况求?的置信区间 (1)方差?2已知 构造统计量