直线平面简单几何体命题研究.doc

 PAGE 5 直线、平面、简单几何体命题研究 四川省乐至县吴仲良中学 毛仕理 641500 (0832)3358610 maoshili@126.com 考查形式与特点 (1).考查直线、平面的位置关系，几乎每年一题，多数为选择题，一般试题难度不大，2003年的填空题例外，难度极大. (2).计算角的问题，这类问题每年必考.试卷中常见的是异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角的大小.这些试题有一定难度，要把它们转化为相交直线所成的角，或者用空间向量的数量积来求两向量的夹角. (3).求距离，这类试题多为求点与点之间的距离或点到平面的距离.关于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离. (4).体积问题是每年必考的内容. (5).在多面体中考查点、线、面的位置关系问题，这是立体几何解答题的特点，以几何体为载体，重点考查的是直线和平面的知识，几何体多为棱柱. (6).在新课程???B类教材中以空间向量、空间直角坐标系处理空间几何体的问题，试题通常是证明垂直或求异面直线所成角的解答题，一般试题难度不大，为中档题，难度不超过相应的A类要求的解答题. 2.命题趋势 直线、平面、简单几何体称为立体几何，它对于考查同学的空间想象能力和推理运算能力具有非常重要的意义，因此一直是高考命题的重点．近5年的数学高考中，立体几何试题基本保持了相对稳定，一般直接考查的有2、3道选择或填空题，一道解答题，约占全试卷总分值的16％．选择和填空多为容易或中等题，解答题多为中等难度题，难度系数在0.3--O.6之间．本章考查的主要题型包括：直线、平面的位置关系问题，计算角的问题，求距离的问题，体积问题等．其中利用组合题(所谓组合题，就是将多重选择题进行组合，改编成单选题)和开放题来考查立体几何的概念及学生的空间想象能力成为近年的热点．而点、线、面的位置关系的考查则常以多面体，主要是棱柱为载体，重点考查距离和角．在新课程的B类教材中以空间向量、空间直角坐标系处理空间几何体的问题，试题通常是证明垂直或求异面直线所成角的解答题． 纵观近几年的高考试题情况，可以预测明年立体几何部分的命题依然会保持稳定，还应是2、3道选择或填空题，一道解答题．选择题、填空题仍会以基本题为主，解答题会是中等难度．对于解答题，以正三棱柱、正四棱柱等柱体为背景，既能用传统立体几何方法解，又能用向量方法解的题型应特别注意． 典例剖析 例1 P、Q、R为正方体表面上的三点,△PQR在正方体三个两两垂直的面上的射影如下图 则下列关于过P、Q、R三点的截面的结论正确的是 ( ). A．这个截面是一个三角形 B．这个截面是四边形 C．这个截面是六边形 D．这个截面过正方体的一个顶点 分析 这是一道考查空间想象能力的好题． 解答 C 正方体共六个面，故其截面只可能是三角形、四边形、五边形、六边形之一．我们只要这四种情况的截面在三个两两垂直的面上的射影与已知图形进行对比就可以决定取舍了． 由已知射影图知，P、Q、R三点都在正方体的棱上(否则，在这个面上的射影必有一顶点在正方形内，而不在正方形的边上)． 若截面为三角形，则三顶点即P、Q、R三点，但此时截面的三个射影图均为直角三角形(即正方形的一个角)与已知不符； 若截面为四边形，只可能是平行四边形或梯形，P、Q、R为它们四顶点中的三个，前者必有一个射影图是正方形，P、Q、R的射影为该正方形的三个顶点，后者的射影图必为四顶点在正方形相邻两边上的梯形，P、Q、R的射影为其中三个顶点，均与已知不符； 若截面为五边形，则必有3个顶点在正方体三条平行的棱上(如图)，且一个顶点就是正方体的一个顶点，如图中的P，否则截面在左面上的射影五边形5顶点分布在正方形的三条边上，无论哪3个是P、Q、R的射影，都与已知不符(见右图下)，此时从截面在下面的射影看Q、R只能分别在AB、BC上，与另两个射影图矛盾，故选C． 事实上，记正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1、D1A1、A1A的中点记为E、P、F、Q、G、R，则它们是一个六边形六个顶点，△PQR在三个两两垂直的面上的射影恰如题设所示． 例2 水平桌面上放置着一个容积为V的密闭长方体玻璃容器ABCD—A1B1C1D1，其中装有的水． ①把容器一端慢慢提起，使容器的一条棱AD保持在桌面上，这个过程中，水的形状始终是柱体； ②在①中的运动过程中，水面始终是矩形． ③把容器提离桌面，随意转动，水面始终过长方体内一个定点； ④在③中水与容器的接触面积始终不变． 以上说法正确的是__________ (把所有正确命题的序号都填上) 分析 本题在运动中考