4-4协方差矩阵.ppt

§4 .4 矩和协方差矩阵 一、矩的概念 二、协方差矩阵 例1 设有随机变量X~N(0, σ2),试求E(Xn). 三、n 维正态分布的性质 例3 设有随机变量X，Y相互独立，X~N(1,4),Y~N(2,9) * * 矩的概念 协方差矩阵 n 维正态分布的性质 3.设有随机变量X,Y，若E(XkYl)存在，称之为X和Y 说明： EX是一阶原点矩, DX 是二阶中心矩, 协方 差COV (X,Y)是二阶混合中心矩. 4.设有随机变量X,Y，若 E(X-EX)k(Y-EY)l 存在，称之 矩与协方差矩阵 1.设有随机变量X,若EXk存在,则称之为X的k阶原点矩. 2. 若E(X-EX)k存在,则称之为X的k阶中心矩. 的k+l阶混合矩. 为X 和 Y 的k+l阶混合中心矩. 设(X,Y)为二元随机变量，其有四个二阶中心矩. 矩与协方差矩阵 主要针对多维随机变量的中心矩与混合中心矩来谈，以二元随机变量为例. 称此矩阵为(X,Y)的 由c11,c12,c21,c22,有 协方差矩阵 将(X,Y)的协方差矩阵予以 推广，设有n维随机变量 矩与协方差矩阵 若记 则称(cij)n×n为(X1, X2,‥‥,Xn)的协方差矩阵. X1, X2,‥‥,Xn , 矩与协方差矩阵 解 令 则 Y~N(0, 1) (1) 当n为奇数, 则E(Xn)=0 (2) 当n为偶数, 则 矩与协方差矩阵 利用Γ-函数的性质Γ(r+1)=rΓ(r) 矩与协方差矩阵 矩与协方差矩阵 特别是,当X~N(0, 1),则有 (X,Y)~N(μ1, μ2, σ12,σ22,ρ),则 (X,Y)的协方差矩阵 矩与协方差矩阵 例2 利用线性代数知识有 若记： 则 (X,Y)的联合概率密度为 矩与协方差矩阵 服从一维正态分布。 正态分布。 矩与协方差矩阵 (1) n维(X1, X2,‥‥,Xn)随机变量服从n维正态分布 ? X1, X2,‥‥,Xn的任意线性组合l1X1+l1X2+‥‥+lnXn (2) 若 (X1, X2,‥‥,Xn) 服从n维正态分布, Yj 是Xj (j=1,2, ‥‥)的线性函数, 则(Y1, Y2,‥‥,Yn)也 服从 (3) 若 (X1, X2,‥‥,Xn) 服从n维正态分布, 则X1, X2, ‥‥,Xn相互独立? X1, X2,‥‥,Xn两两不相关. 矩与协方差矩阵 求2X-Y的分布. 解 随机变量X，Y服从正态分布,且相互独立,则 2X-Y也服从正态分布 则 2X-Y~N(0,25) .