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线性代数 第三章 线性空间 * §3.2 n维向量 定义3.2.1 称为n维向量，常用希腊字母α，β等或小写拉丁 字母x，y等表示。 组成的一个有序数组 一.向量的概念 * 若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组。 向量的本质是有序数组，至于采用行向量还是列向量形式，要根据具体情况来确定，并且可以用转置记号把两种情况互变，例如： * 的每一行都是一个n维行向量，于是矩阵A可以写成： 一个 m×n 矩阵 A的行向量组 * 同时每一列都是一个m维列向量，于是矩阵A可以写成： A的列向量组 * 设两个n维向量 定义 则称两个向量相等 ，记作? =β. 所有分量全为零的向量称为零向量，记作0. 记为 -? * （1） ? +β＝ β+? （交换律） （2） (? +β)+γ= ? +(β+γ) （结合律） （3） ? +ο= ? （4） ? +(-? )=ο （5） 1·? = ? （6） ( kl )? = k(l?) = l (k?) （7） k( ? +β)= k ? + kβ （8） (k＋ l )? =k? ＋l? 线性运算规律： 其中 ? 、β 、γ、0都是n维向量，k、l都是实数. 向量的和、差、数乘运算称为向量的线性运算 * 例1： 设向量? =(2,-4,1,-1), γ=(-3,-1,2,-5/2), 求满足3? -2(β+γ)=o的向量β。 解 6 -5 -1／2 1 * 例2： 把下面线性方程组写成向量形式： 记 则上述方程组可写成 称为线性方程组的向量表示形式. * 二 向量间的线性关系 1、向量的线性组合 定义3.2.2 * 根据定义3.2.2，容易得到如下结论： 例1.向量α1＝（1，2，4） α2＝（0，1，1）， β＝（1，3，5），考察β是否是个线性表示。 * 例2 证明向量 是向量组 的线性组合， 解 即 因此 解得 * * 一向量由一向量组线性表示的表示式未必唯一 答案：不能 * 定义 设两个向量组 等价关系具有如下性质： 反身性; 对称性； 传递性。 （Ⅰ） （Ⅱ） 若向量组(Ⅰ)中每一个向量都可以由向量组(Ⅱ)线性表示，则称向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示。如果(Ⅰ)与(Ⅱ)可以相互线性表示，则称向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，记作：(Ⅰ) （Ⅱ） * 2、线性相关与线性无关 定义3.2.4 否则的涵义？ * 证 设 * 命题1 如果向量组中有一部分向量（称为部分组）线性相关， 则该向量组线性相关。 推论 含有零向量的向量组必线性相关。 命题2 两个非零向量?与?线性相关的充要条件为? 与 ?的分量对应成比例 * 线性相关性的判定 * 定理3.1 * 推论 * 推论 例 判断下列向量组的线性相关性 * 定理3.2 证 若向量组线性相关， 则有不全为零的数 使 不妨设 于是便有 即 能由 线性表示. 若向量组中有某个向量能由其余 m-1 个向量线性表示. 不妨设 能由 线性表示， 即有 使 于是 由于 这 m 个数不全为0 所以向量组线性相关. 若向量组线性相关， * 推论 定理3.3 证 由 条件知 则有不全为零的数 使 假设 * 称向量β是向量α的“接长向量”。 命题2 接长向量： * 三、向量组的秩 定义3.2.5 一个向量组的部分组本身线性无关，并且从整个向量组的剩余向量中任意添加一个向量（若还有的话）所得到的部分组线性相关，称该部分组为向量组的一个极大线性无关组 所以其极大线性无关组就是其本身。 例2 注 1. 向量组的一个极大线性无关组就是向量个数达到最大 的线性无关的部分组. 例1 2.若一个向量组是线性无关的，则该向量组的极大线性无关组就是向量组本身. 3.向量组与其极大线性无关组可以互相线性表示. * 定理3.2.5 之扩展 设有两个n维向量组： 若（Ⅰ）线性无关，且（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，则 r ≤ s 注 若（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，且 r s，则（Ⅰ）必线性相关。 * 若（Ⅰ） 、（Ⅱ）均线性无关，且（Ⅰ）（Ⅱ）可相互线性表示，则 r = s 推论1 推论2 推论3 若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则该向量组 线性相关。 推论4 注 含n+1个向量的n维向量组必线性相关. 线性代数 第