函数模型应用实例(使用).ppt

* * 例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时 间的关系如图3.2-7所示。 （1） 求图3.2-7中阴影部分的 面积，并说明所求面积的 实际含义； 解：（1）阴影部分的面积为 50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路 程为360km 图3.2-7 （2） 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前 的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表 读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。 这个函数的图象如图3.2-8所示 S = 解：根据图3.2-7，有 50t+2004 80(t-1)+2054 90(t-2)+2134 75(t-3)+2224 65(t-4)+2299 0≤t＜1 1≤t＜2 2≤t＜3 3≤t＜4 4≤t＜5 t 图3.2-8 s 图3.2-7 从这个练习我们看到，在解决实际问题的过程中，图象函数是能够发挥很大的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力。另外，在本题中我们用到了分段函数，由此我们也知道，分段函数也是刻画现实问题的重要模型。大家在运用分段函数的时 候要注意它的定义域。那么应该如何解函数的应用问题呢？ 例2 人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人 口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依 据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了 自然状态下的人口增长模型： 表3-8是1950～1959年我国的人口数据资料： 67207 65994 64563 62828 61456 60266 58796 57482 56300 55196 人数/万人 1959 1958 1957 1956 1955 1954 1953 1952 1951 1950 年份 其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示 人口的年平均增长率。 （1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口 增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据 是否相符； 解：（1）设1951～1959年的人口增长率分别为 r1，r2，…，r9.由 55196 (1+r1) =56300 可得1951年的人口增长率 r1≈0.0200。 同理可得， r2≈0.0210 r3≈0.0229 r4≈0.0250 r5≈0.0197 r6≈0.0223 r7≈0.0276 r8≈0.0222 r9≈0.0184 于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为 r=（r1+r2+···+r9）÷9≈0.0221 令y0=55196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为 根据表3-8中的数据作出散点图， 并作出函数的图象（图3.2-9）。 由图3.2-9可以看出，所得模型与 1951～1959年的实际人口数据 基本吻合。 图3.2-9 t y （2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的 人口达到13亿？ 解：将 y=130000代入 由计算器可得 t≈38.76 所以，如果按表3-8的增长趋势，那么大约在1950年 后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿。 由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口 自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力。 从以上的例子可以看到，用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，因此通过模型得出的结果往往会与实际问题存在一定的误差。因此，往往需要对模型进行修正。 例3、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，没桶装水的进价是5元。销售单价与日均销售量的关系如下表所示： 240 280 320 360 400 440 480 日均销售量/桶 12 11 10 9 8 7 6 销售单价/元 请根据以上数据作出分析，这个经营部那样定价才能获得最大利润。 解：根据上表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶。设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为 题型 1 利用给定的函数模型解决实际问题 【例 1】 某市场调查发现，某种产品在投放市场的 30 天 中， 其销售价格 P 元和时间 t 天(t∈N)的关系如图 3-2-4 所示. 图 3-2-4 (1)写出销售价格 P(单位：元)和时间 t(单位：天)的函数解析式； (2)若日销售量 Q(单位：件)与时间 t(单位：天)的函数关系是 Q＝－t＋40(0≤t≤30，t∈N)，求该商品的日销售金额 y(单位：元)与时间 t(单位：天)的函数解析式； (3)问：当该产品投放市场第几天时，日销售额最高，最高为多少元？ 题