第4部分.排列、组合、概率初步、统计初步.doc

排列与组合 §1.1 两个基本原理 一、分类计数原理 完成一件事有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法……，在第二类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有不同的方法的种数为 二、分步计数原理 完成一件事要分成个步骤，在第一步骤中中有种不同的方法，在第二步骤中有种不同的方法……，在第步骤中有种不同的方法，那么完成这件事的方法的种数共有 §1.2 排列与组合 一、排列 1.排列的定义、排列数 从个不同的元素中,任取个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同的元素中,取出个不同的元素的一个排列.当时,又叫全排列. 从个不同的元素中,任取个不同的元素的所有排列的个数,叫做从个不同的元素中取个不同的元素的的排列数.用符号表示. 如从四个字母中,四个字母都参与排列的排列数为如下24种: 排列数是24，排列的过程可用以下的步骤完成: 第一步，从中任选一个排在最前面，共有4种不同的选法； 第二步，从第一步选剩的3个字母中任选一个排在第二位，共有3种不同的选法； 第三步，从第一步、第二步选剩的2个字母中任选一个排在第三位，共有2种不同的选法； 第四步，经过第一步、第二步、第三步的选排，剩下的字母只有一个，共有1种选法。 根据分步计数原理，排列数为 说明①.式子右边第一个因数最大,是P的下标; ②.因数的个数是P的上标; ③第个因数是P的下标减上标再加上1. 例 在数字0,1,2,3中,可以组成多少个没有重复的三位数? 解一 按分步计数法确定排列数 排在第一位的可以是1,2,3中的任一个数字,因此第一步骤有三种选择; 排在第二位的可以是0和1,2,3中除已占据第一位的数字外的任何一个数字,因此第二步骤有三种选择; 排在末位的可以是0和1,2,3中除已占据第一、二位的数字外的任何一个数字,因此第三步骤有二种选择。根据分步计数原理，得数字0,1,2,3中,可以组成没有重复的三位数排列数为： 解二 按分类计数法确定排列数 第一类：0不参与首位排列，1,2,3三个数字排在百位、十位、个位的排列数是； 第二类：0排在十位，1,2,3三个数字中任选二个数字分别排在首位、个位的排列数是, 第二类：0排在个位，1,2,3三个数字中任选二个数字分别排在首位、十位的排列数是, 根据分类计数原理，得数字0,1,2,3中,可以组成没有重复的三位数排列数为： 例 从0,1,2,3,4,5五个数字中取三个数字构成三位数偶数的,这样的偶数共有多少个? 解 三位数偶数的未位必须是0或2,4. 第一类:0排在个位，十位和百位的数分别由1,2,3,4,5中的任何二个来充当，这类的排列数为. 第二类:2排在个位，十位和百位的数分别由0,1,3,4,5中的任何一个来充当, 排列数为.它包含0排在百位的排列数(0排在百位,2排在个位，十位中的数从1,3,4,5中任取一个,故排列数为),0不能排在百位, 故必须剔除, 故第二类排列数为－. 第三类: 4排在个位，其排列数为－(分析仿上). 所以，所求偶数的个数为+=3－2=3×5×4－2×4=52. 二、组合 1.组合的定义、组合数 从个不同的元素中，任取个不同的元素，不分顺序并成一组，叫做从个不同的元素中，取出个不同的元素的一个组合， 从个不同的元素中,任取个不同的元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素中取个不同的元素的的组合数.用符号表示。 如从四个字母中,任取二个 字母进行组合的组合数为如下=6： ，，，，， 每一个组合中的排列数是，6个组合中的排列数是，可见与、的关系是： ， 2.组合数公式 3.基本性质 例 在50件产品中，有48件是一级品，2件次品，从这50 件产品中任意抽取三件(每种抽法中至少有一件产品不同,抽取的顺序不分先后)。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中有一件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种? 解 (1) 所求抽法的种数是从50件产品中其中三件的组合数 (2) 从2件次品中抽取一件次品的抽法有只有种，从48件合格品中抽取2件合格品的抽法的种数 (3) 抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法的种数等于所有抽法的种数减去都是合格品的抽法的种数 概率与统计初步 §2.1 概率初步 一、随机事件及其概率 1. 随机事件、必然事件、不可能事件 在一定条件下可能发生,也可能不发生的的事件叫做随机事件；在一定条件下必然发生的事件叫做必然事件；在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件. 如某地某日出现非人为交通事故是随机事件；当时，，是必然事件；靠拉住自己的头发而摆脱地球的吸引是不可能事件. 2. 随机事