(1999年全国高中数学联赛试题及详细解析.doc

一、选择题 本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 给定公比为q(q?1)的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6,…, bn=a3n?2+a3n?1+a3n,…，则数列{bn} 【答】（　 ）(A) 是等差数列 (B) 是公比为q的等比数列(C) 是公比为q3的等比数列 (D) 既非等差数列也非等比数列 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是 【答】（　 ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 已知点A(1,2)，过点(5,?2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是 (A) 锐角三角形 (B) 钝角三角形 (C) 直角三角形 (D) 不确定 【答】（　 ） 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7. 已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________. 已知=arctg，那么，复数的辐角主值是_________. 在△ABC中，记BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b2?19c2=0，则=__________. 已知点P在双曲线上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是_____. 已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{?3,?2,?1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______. 已知三棱锥S?ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H?AB?C的平面角等于30?, SA=2。那么三棱锥S?ABC的体积为__________. 三、解答题(本题满分60分，每小题20分)[来源:学|科|网] 13. 已知当x?[0,1]时，不等式恒成立，试求的取值范围。 14. 给定A(?2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当|AB|+|BF|取最小值时，求B的坐标。 15. 给定正整数n和正数M，对于满足条件≤M的所有等差数列a1,a2,a3,….，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值。 [来源:学科网ZXXK] 第二试 三、(满分50分) 给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,n克的所有物品。 （1）求k的最小值f(n)； （2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。 1999年全国高中数学联合竞赛答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A B D[来源:学.科.网] B C 1. 给定公比为q(q?1)的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6,…, bn=a3n?2+a3n?1+a3n,…，则数列{bn} 【答】（　 ） (A) 是等差数列 (B) 是公比为q的等比数列 (C) 是公比为q3的等比数列 (D) 既非等差数列也非等比数列 2. 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (|x|?1)2+(|y|?1)2＜2的整点(x,y)的个数是 【答】（　 ） (A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 25 【答案】(A) 【解析】由,可得(|x|-1,|y|-1)为(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个. 5. 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰