(1983年全国高中数学联赛试题及详细解析.doc
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第一试
1.选择题(本题满分32分,每题答对者得4分,答错者得0分,不答得1分)
⑴ 设p、q是自然数,条件甲:p3-q3是偶数;条件乙:p+q是偶数.那么
A.甲是乙的充分而非必要条件 B.甲是乙的必要而非充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
⑹ 设a,b,c,d,m,n都是正实数,
P=+,Q=·,那么
A.P≥Q B.P≤Q
C.PQ D.P、Q的大小关系不确定,而与m,n的大小有关.[来源:21世纪教育网]ABCD所在平面上有点P,使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形,那么具有这样性质的点P的个数有
A.9个 B.17个 C.1个 D.5个
⑻ 任意△ABC,设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l、R与r,那么
A.lR+r B.l≤R+r C.R+r6l D.A、B、C三种关系都不对
2.填充题(本题满分18分,每小题6分)
⑴ 在△ABC中,sinA=,cosB=,那么cosC的值等于 .
⑵ 三边均为整数,且最大边长为11的三角形,共有 个.
⑶ 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形,这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数,那么积m?n是 .
第二试
1.(本题满分8分)求证:arc sinx+arc cosx= ,其中x∈[-1,1]
2.(本题满分16分)函数f(x)在[0,1]上有定义,f(0)=f(1).如果对于任意不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)||x1-x2|.求证:|f(x1)-f(x2)| .
[来源:21世纪教育网]5.(本题满分18分) 函数F(x)=|cos2x+2sinxcosx-sin2x+Ax+B|
0≤x≤π上的最大值M与参数A、BA、B取什么值时,M为最小?证明你的结论.
1983年全国高中数学联赛解答21世纪教育网1.选择题(本题满分32分,每题答对者得4分,答错者得0分,不答得1分)
⑴ 设p、q是自然数,条件甲:p3-q3是偶数;条件乙:p+q是偶数.那么
A.甲是乙的充分而非必要条件 B.甲是乙的必要而非充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
⑵ x=+的值是属于区间
A.(-2,-1) B.(1,2) C.(-3,-2) D.(2,3)
【答案】D
【解析】x=log32+log35=log310∈(2,3),选D.
21世纪教育网M={(x,y)|y≥x2},N={(x,y)|x2+ (y-a)2≤1}.那么,使M∩N=N成立的充要条件是
A.a≥1 B.a=1 C.a≥1 D.0a1
【答案】A
【解析】M∩N=N的充要条件是圆x2+(y-a)2≤1在抛物线y=x2内部(上方).即a≥1,且方程
y2-(2a-1)y+a2-1=0的△=(2a-1)2-4(a2-1)≤0,?a≥1,选A.
⑸ 已知函数f(x)=ax2-c,满足
-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.
那么,f(3)应满足
A.7≤f(3)≤26 B.-4≤f(3)≤15 C.-1≤f(3)≤20 D.-≤f(3)≤
⑹ 设a,b,c,d,m,n都是正实数,
P=+,Q=·,那么
A.P≥Q B.P≤Q
C.PQ D.P、Q的大小关系不确定,而与m,n的大小有关.
【答案】B
【解析】由柯西不等式,Q≥P.选B.
2.填充题(本题满分18分,每小题6分)
⑴ 在△ABC中,sinA=,cosB=,那么cosC的值等于 .
【答案】
【解析】cosA=±,sinB=,但若cosA=-,则A135°,cosB=cos60°,B60°,矛盾.故cosA=.∴ cosC=cos(π-A-B)=-cosAcosB+sinAsinB=-·+·=.
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