(1983年全国高中数学联赛试题及详细解析.doc

第一试 1．选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分) ⑴ 设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么 A．甲是乙的充分而非必要条件 B．甲是乙的必要而非充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 ⑹ 设a，b，c，d，m，n都是正实数， P=+，Q=·，那么 A．P≥Q B．P≤Q C．PQ D．P、Q的大小关系不确定，而与m，n的大小有关．[来源:21世纪教育网]ABCD所在平面上有点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的点P的个数有 A．9个 B．17个 C．1个 D．5个 ⑻ 任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l、R与r，那么 A．lR+r B．l≤R+r C．R+r6l D．A、B、C三种关系都不对 2．填充题(本题满分18分，每小题6分) ⑴ 在△ABC中，sinA=，cosB=，那么cosC的值等于 ． ⑵ 三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 个． ⑶ 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数，那么积m?n是 ． 第二试 1．(本题满分8分)求证：arc sinx+arc cosx= ，其中x∈[－1，1] 2．(本题满分16分)函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1)．如果对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)||x1－x2|．求证：|f(x1)－f(x2)| ． [来源:21世纪教育网]5．(本题满分18分) 函数F(x)=|cos2x+2sinxcosx－sin2x+Ax+B| 0≤x≤π上的最大值M与参数A、BA、B取什么值时，M为最小？证明你的结论． 1983年全国高中数学联赛解答21世纪教育网1．选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分) ⑴ 设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么 A．甲是乙的充分而非必要条件 B．甲是乙的必要而非充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 ⑵ x=+的值是属于区间 A．(－2，－1) B．(1，2) C．(－3，－2) D．(2，3) 【答案】D 【解析】x=log32+log35=log310∈(2，3)，选D． 21世纪教育网M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+ (y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要条件是 A．a≥1 B．a=1 C．a≥1 D．0a1 【答案】A 【解析】M∩N=N的充要条件是圆x2+(y－a)2≤1在抛物线y=x2内部(上方)．即a≥1，且方程 y2－(2a－1)y+a2－1=0的△=(2a－1)2－4(a2－1)≤0，?a≥1，选A． ⑸ 已知函数f(x)=ax2－c，满足 －4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5． 那么，f(3)应满足 A．7≤f(3)≤26 B．－4≤f(3)≤15 C．－1≤f(3)≤20 D．－≤f(3)≤ ⑹ 设a，b，c，d，m，n都是正实数， P=+，Q=·，那么 A．P≥Q B．P≤Q C．PQ D．P、Q的大小关系不确定，而与m，n的大小有关． 【答案】B 【解析】由柯西不等式，Q≥P．选B． 2．填充题(本题满分18分，每小题6分) ⑴ 在△ABC中，sinA=，cosB=，那么cosC的值等于 ． 【答案】 【解析】cosA=±，sinB=，但若cosA=－，则A135°，cosB=cos60°，B60°，矛盾．故cosA=．∴ cosC=cos(π－A－B)=－cosAcosB+sinAsinB=－·+·=．