1998年全国高中数学联赛试题及详细解析5484162模板.doc

一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 若a 1, b 1, 且lg(a + b)=lga+lgb, 则lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) （A）等于lg2 （B）等于1 (C ) 等于0 (D) 不是与a, b无关的常数 2.若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a – 5},B={x|3≤x≤22},则能使A(A∩B成立的所有a的集合是( ) （A）{a | 1≤a≤9} (B) {a | 6≤a≤9} (C) {a | a≤9} (D) ? 6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果. 1．若f (x) (x(R)是以2为周期的偶函数, 当x([ 0, 1 ]时,f(x)=x，则f()，f()，f()由小到大排列是 ． 2．设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180°)，复数z，(1+i)z，2在复平面上对应的三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R不共线时,以线段PQ, PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S, 点S到原点距离的最大值是___________. 3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种. 4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项. 5．若椭圆x2+4(y－a)2=4与抛物线x2=2y有公共点，则实数a的取值范围是 ． 6．(ABC中, (C = 90o, (B = 30o, AC = 2, M是AB的中点. 将(ACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为 2，A-BCM的体积等于__________. 三、（本题满分20分） 已知复数z=1－sinθ+icosθ(θπ)，求z的共轭复数的辐角主值． [来源:21世纪教育网] 四、（本题满分20分） 设函数f (x) = ax 2 +8x +3 (a0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个 区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| ( 5都成立． 问：a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a)．证明你的结论. 五、（本题满分20分） 已知抛物线y 2 = 2px及定点A(a, b), B( – a, 0) ,(ab ( 0, b 2 ( 2pa)．M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2． 求证：当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 ( M2)，直线M1M2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标． 第二试 二、（满分50分）设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈[1，2]且a=b， 求证：≤a．并问：等号成立的充要条件． 三、（满分50分）对于正整数a、n，定义Fn(a)=q＋r，其中q、r为非负整数，a=qn＋r，且0≤r＜n．求最大的正整数A，使得存在正整数n1，n2，n3，n4，n5，n6，对于任意的正整数a≤A，都有 F(F(F(F(F(F(a))))))=1．证明你的结论． 一九九八年全国高中数学联赛解答 第一试 一．选择题（本题满分36分，每小题6分）[来源:21世纪教育网] 2．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a – 5},B={x|3≤x≤22},则能使A(A∩B成立的所有a的集合是( )21世纪教育网 A）{a | 1≤a≤9} (B) {a | 6≤a≤9} (C) {a | a≤9} (D) ? 【答案】B 【解A(B，A≠?．3≤2a+1≤3a－5≤22，(6≤a≤9．故选B． 4.设命题P：关于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 0与a 2x2 + b2x + c2 0的解集相同; 命题Q：==． 则命题Q( ) (A) 是命题P的充分必要条件21世纪教育网B) 是命题P的充分条件但不是必要条件 (C) 是命题P的必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题P的