1998年全国高中数学联赛试题及详细解析5484162模板.doc
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一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
若a 1, b 1, 且lg(a + b)=lga+lgb, 则lg(a –1)+lg(b –1) 的值( )
(A)等于lg2 (B)等于1
(C ) 等于0 (D) 不是与a, b无关的常数
2.若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a – 5},B={x|3≤x≤22},则能使A(A∩B成立的所有a的集合是( )
(A){a | 1≤a≤9} (B) {a | 6≤a≤9}
(C) {a | a≤9} (D) ?
6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )
(A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37
二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.
1.若f (x) (x(R)是以2为周期的偶函数, 当x([ 0, 1 ]时,f(x)=x,则f(),f(),f()由小到大排列是 .
2.设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180°),复数z,(1+i)z,2在复平面上对应的三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R不共线时,以线段PQ, PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S, 点S到原点距离的最大值是___________.
3.从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.
4.各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.
5.若椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,则实数a的取值范围是 .
6.(ABC中, (C = 90o, (B = 30o, AC = 2, M是AB的中点. 将(ACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为 2,A-BCM的体积等于__________.
三、(本题满分20分)
已知复数z=1-sinθ+icosθ(θπ),求z的共轭复数的辐角主值.
[来源:21世纪教育网] 四、(本题满分20分)
设函数f (x) = ax 2 +8x +3 (a0).对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个 区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| ( 5都成立.
问:a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a).证明你的结论.
五、(本题满分20分)
已知抛物线y 2 = 2px及定点A(a, b), B( – a, 0) ,(ab ( 0, b 2 ( 2pa).M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2.
求证:当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 ( M2),直线M1M2恒过一个定点.并求出这个定点的坐标.
第二试
二、(满分50分)设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈[1,2]且a=b,
求证:≤a.并问:等号成立的充要条件.
三、(满分50分)对于正整数a、n,定义Fn(a)=q+r,其中q、r为非负整数,a=qn+r,且0≤r<n.求最大的正整数A,使得存在正整数n1,n2,n3,n4,n5,n6,对于任意的正整数a≤A,都有
F(F(F(F(F(F(a))))))=1.证明你的结论.
一九九八年全国高中数学联赛解答
第一试
一.选择题(本题满分36分,每小题6分)[来源:21世纪教育网]
2.若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a – 5},B={x|3≤x≤22},则能使A(A∩B成立的所有a的集合是( )21世纪教育网
A){a | 1≤a≤9} (B) {a | 6≤a≤9}
(C) {a | a≤9} (D) ?
【答案】B
【解A(B,A≠?.3≤2a+1≤3a-5≤22,(6≤a≤9.故选B.
4.设命题P:关于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 0与a 2x2 + b2x + c2 0的解集相同;
命题Q:==. 则命题Q( )
(A) 是命题P的充分必要条件21世纪教育网B) 是命题P的充分条件但不是必要条件
(C) 是命题P的必要条件但不是充分条件
(D) 既不是是命题P的
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