(1999年全国高中数学联赛试题及解答.doc
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一九九九年全国高中数学联合竞赛
第一试
(10月10日上午8:00-9:40)
一.选择题:(每小题6分)
1.给定公比为q(q≠1)的等比数列{an},设b1=a1+a2+a3 , b2=a4+a5+a6 ,… ,bn=a3n-2+a3n-1+a3n ,… 则数列{bn} ( )
(A)是等差数列 (B)是公比q为的等比数列
(C)是公比为q3的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列
2.平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)22的整点(x,y)的个数是( )
(A)16 (B)17 (C)18 (D)25
3.若(log23)x-(log53) x≥ (log23)-y-(log53)-y,则( )
(A)x-y≥0 (B)x+y≥0 (C)x-y≤0 (D)x+y≤0
4.给定下列两个关于异面直线的命题:
命题1:若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线,直线c是α与β的交线,那么c至多与a , b中的一条相交。
命题2:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条是异面直线。
那么( )
(A)命题1正确,命题2不正确
(B)命题2正确,命题1不正确
(C)两个命题都正确
(D)两个命题都不正确
5.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了50场,那么在上述3名选手之间比赛的场数是( )
(A) 0 (B)1 (C)2 (D)3
6.已知点A(1,2),过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C,那么△ABC是( )
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形
(C)直角三角形 (D)答案不确定
填空题:(每小题9分)
1、已知正整数n不超过2000,并且能表示成不少于60个连续正整数之和,那么这样的n的个数是 .
2、已知θ=arctan ,那么复数z=的辐角主值是 .
3、在△ABC中,记BC=a , CA=b , AB=c ,若9a2+9b2-19c2=0 , 则= .
4、已知点P在双曲线-=1上,并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么P的横坐标是 .
5、已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,那么这样的直线的条数是 .
6、已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心,二面角H-AB-C的平面角等于30°,SA=2,那么三棱锥S—ABC的体积为 .
三、(本题满分为20分)
已知当x ∈[0,1]时,不等式
x2cosθ-x(1-x)+(1-x) 2sinθ0
恒成立,试求θ的取值范围。
四、(本题满分20分)
给定A(-2,2),已知B是椭圆+=1上的动点,F是左焦点,当|AB|+|BF|取最小值时,求B的坐标。
五、(本题满分20分)
给定正整数n和正数M,对于满足条件a21+a2n+1≤M的所有等差数列a1,a2,a3,…,试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值。
第二试
一、(满分50分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G.求证:∠GAC=∠EAC.
二、(满分50分)给定实数a,b,c,已知复数z1,z2,z3满足:
求|az1+bz2+cz3|的值.
三、(满分50分)给定正整数n,已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,n克的所有物品。
(1)求k的最小值f(n);
(2)当且仅当n取什么值时,上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的?并证明你的结论。
一九九九年全国高中数学联赛解答
第一试
一.选择题:(每小题6分)
1.给定公比为q(q≠1)的等比数列{an},设b1=a1+a2+a3 , b2=a
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