3角函数在实际生活中的应用.doc

PAGE  PAGE 12 第三章 三角函数在实际生活中的应用 三角学的发展，由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久，在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学；虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。 在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。 停车场设计问题 如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在上的长方形停车场，求长方形停车场面积的最大值和最小值。 分析：矩形的面积显然跟的位置有关，连，延长若直接设，则,在中， ，从而得， ）·x，虽然可以得出函数关系，但是求解面积的最值比较复杂。不妨以角为变量建立函数关系。 解：如上添加辅助线，设，则,，设，则。代入化简得故当时，；当时， (m2) 通讯电缆铺设问题 A C D B θ 如图，一条河宽km，两岸各有一座城市的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连与，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万??/km，假定河岸是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可使总施工费用达到最少？ 分析：设电缆为时费用最少，因为河宽为定值，为了表示的长，不妨设 解：设，则, ∴总费用为= 问题转化为求的最小值及相应的θ值，而表示点与点斜率的－2倍，有图可得在单位圆周上运动，当直线与圆弧切于点时，u取到最小值。此时，∴ ， 。 即水下电缆应从距B城（－）km处向城铺设，图三因此此时总费用达最小值2+2（万元）。 注：本题在求u的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函数的有界性等方法。 探索与思考： 你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？ 通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？ 食品包装问题 某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为1的糖果的外层包装进行设计。设计时要求同时满足如下条件： P A B C O （1）外包装要呈一封闭的圆锥形状；（2）为减少包装成本，要求所用材料最省；（3）为了方便携带，包装后每个糖果的体积最小。问：这些条件能同时满足吗？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装用料是多少？体积是多少？若不能，请说明理由。 分析：要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面半径AC、母线PA及高PC，这些变量之间的关系可以通过一个“角”把它们联系起来。 解：如图，设，则，下底面半径,母线长，高则 (+1)=; = ∴当且仅当,即时，能使和同时取到最小值，此时，即当圆锥的下底面半径和高分别为、2时能同时满足条件，外包装用料是，体积是。 营救区域规划问题 如图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一机艇以60km/h的速度从A出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救，用图示表示营救的区域。 分析：1.要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；2.题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角θ作为变量来求解。 解：以A为原点，过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图：设机艇的最初航向的方位角为θ，设OP方向前进m到达点P，然后向东前进n到达点Q发生故障而抛锚。则,令点Q的坐标为， 则 ∴∵机艇中途东拐，∴…………① 又∵ 满足不等式组①和②的点所在的区域，按对称