第二章逻辑代数基础.doc

第2章 逻辑代数基础 2.1 概述 一、算术运算和逻辑运算 在数字电路中, 二进制数码不仅可以表示数值的大小，而且可以表示事物的状态,当两个二进制数码表示两个数值大小时，它们之间可进行数值运算，即算术运算。 当两个二进制数码表示不同逻辑状态时，它们之间的因果关系可进行逻辑运算。算术运算与逻辑运算有本质的差别,下面重点介绍逻辑运算的各种规则。 二、几个基本概念 1、 逻辑状态表示法 一种状态 高电位 有 真 是 美 生 1 0 另一种状态 低电位 无 假 非 丑 死 0 1 2、两种逻辑体制 1 高电位 低电位 0 低电位 高电位 正逻辑 负逻辑 3、高低电平的规定 正逻辑 负逻辑 2.2 逻辑代数中的三种基本运算 1、与逻辑（与运算）(逻辑乘) 与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为： Ｙ＝ＡＢＣ 开关A，B串联控制灯泡Y 2、或逻辑（或运算） 或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为： Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋… 开关A，B并联控制灯泡Y A、B都断开，灯不亮。 A断开、B接通，灯亮。 A接通、B断开，灯亮。 A、B都接通，灯亮。 两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为： Ｙ＝Ａ+Ｂ 功能表 真 值 表 实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号： 3、非逻辑（非运算） 非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为： 开关A控制灯泡Y A断开，灯亮。 A接通，灯灭。 功 能 表 真 值 表 A Y 0 1 1 0 实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号： 4、复合逻辑运算 （1）与非运算：逻辑表达式为： （2）或非运算：逻辑表达式为： （3） 与或非运算：逻辑表达式为： （4）异或运算：逻辑表达式为： （5）同或运算：逻辑表达式为： 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.1定理和恒等式 一. 定理 利用真值表很容易证明这些公式的正确性 二 .常用恒等式 2.4 逻辑运算的基本定理 1、代入定理：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入定理。 例如，已知等式 　　　　　　 ，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有： （2）反演定理：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演定理。例如： （3）对偶定理：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y＇，Y＇称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶定理。例如： 对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如： 注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。 2.5 逻辑函数极其表示方法 2.5.1 逻辑函数 ?Y=F(A,B,C,······) ------若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入/输出之间是一种函数关系。 注：在二值逻辑中， 输入/输出都只有两种取值0/1。 2.5.2逻辑函数的表示方法 逻辑函数常用真值表,表达式,卡诺图, 逻辑图和波形图来表示。 一. 逻辑函数一般式 一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。借助于摩根定律和分配律,可以实现它们之间的相互转换。 一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。 二. 逻辑函数标准式 1. 标准与或式 任何逻辑函数利用互补律和分配律都可表示成标准与或式,例 （1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。 3个变