工程力学第12章(弯曲变形)课件.ppt

第十二章 弯曲变形 §12-1 引言 例：简支梁跨中承受集中载荷F = 35kN。已知跨度l = 4m，许用应力[σ]=160MPa，许用挠度[δ]=l /500，弹性模量E = 200GPa，试选择工字钢型号。 解：⑴ 按强度条件选择工字钢型号 ⑵ 按刚度条件选择工字钢型号 查表，应选择No.22a工字钢。 二、梁的合理刚度设计 1.选择合理的截面形状( I ) 2.合理选择材料( E ) 影响梁刚度的截面几何性质是惯性矩，所以合理截面形状是截面面积较小而惯性矩大的截面。 影响梁刚度的材料性能是弹性模量，所以选择弹性模量大的材料。 3.梁的合理加强 4.梁跨度的选取( l ) 5.合理安排梁的约束与加载方式( M ) 梁的位移与梁内所有微段的变形均有关，所以提高梁的刚度必须在一定范围内提高梁的刚度。 通过减小梁的跨度实现减小梁的弯矩，从而达到降低梁弯曲变形的目的。 通过合理安排梁的约束与加载方式减小梁的弯矩，从而达到降低梁弯曲变形的目的。 研究弯曲变形的目的： 1.建立梁的刚度条件； 2.求解静不定梁； 3.利用弯曲变形 挠曲轴（线）：梁弯曲变形后的轴线。 度量弯曲变形有两个量：挠度和转角 一、挠度（w）：横截面的形心在垂直于变形前梁轴线方向上的 线位移（mm) 。 挠曲轴方程： 向上的挠度 向下的挠度 二、转角（ ）：横截面的角位移，也等于挠曲轴在该截面处的 切线与x 轴的夹角（rad)。 转角方程： 逆转 顺转 挠曲轴是挠度方程的函数曲线 三、挠度与转角的关系 在小变形下 §12-2 挠曲轴近似微分方程 纯弯曲： 非纯弯曲： （略去剪力对梁变形的影响） 由高数知识可知，平面曲线 上任一点的曲率为 挠曲轴微分方程 在小变形下 远小于1，挠曲轴方程简化为 挠曲轴近似微分方程 近似微分方程适用于弹性范围内小挠度平面弯曲。 §12-3 积分法求弯曲变形 C、D 为积分常数，由以下两类条件确定： 1.边界条件：梁截面的已知位移条件或位移约束条件。如： 固定端截面 铰支座截面 弯曲变形对称截面 2.光滑连续条件：挠曲轴是一条光滑连续的曲线，任一截面 的挠度和转角只有一个确定的值。 转角方程 挠曲轴方程 例：图示为一悬臂梁，EI=常数，在其自由端受一集中力F 的作用，试求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。 解：(1)选取坐标系如图所示， 梁的弯矩方程为 ⑵ 挠曲轴近似微分方程 转角方程 挠曲轴方程 在固定端A，转角和挠度均应等于零，即 ⑶ 确定积分常数 （4)梁的挠曲轴方程和转角方程分别为 梁的最大挠度和最大转角均在梁的自由端截面B 处 ⑸ 确定最大挠度和最大转角 例：简支梁AB如图所示（图中a b），承受集中载荷F作用，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定挠度的最大值。 解：⑴ 列弯矩方程，建立如图坐标系 AC段（0 ≤ x≤a） CB段（a ≤ x≤l） ⑵积分 转角方程 挠曲轴方程 AC段（0 ≤ x≤a） CB段（a ≤ x≤l） 挠曲轴近似微分方程 弯矩方程 ⑶ 确定积分常数 解得： 挠曲轴方程 ⑷ AC段（0 ≤ x≤a） CB段（a ≤ x≤l） 转角方程 挠曲轴方程 转角方程 ⑸ 确定最大挠度 所以转角为零的点在AC 段 §12-4 叠加法求弯曲变形 积分法：优点是可以求得转角和挠度的普遍方程。但当只需确定 某些特定截面的转角和挠度，而并不需求出转角和挠度 的普遍方程时，积分法就显得过于累赘；另外，当梁上 同时作用多个荷载时，采用积分法需确定多个积分常数。 叠加法：梁在若干载荷作用下的弯曲变形等于各载荷单独作用下 的弯曲变形之叠加。 应用前提：（1）线弹性范围内的小变形； （2）内力、应力和变形与载荷成线性关系。 工 具：附录D 注 意： （1）当载荷方向与表中载荷方向相反时，则变形要变号； （2）转角函数可由挠度函数微分一次得到。 例：图示简支梁，同时承受均布载荷q和集中载荷F作用，试用 叠加法计算截面C的挠度。设梁的弯曲刚度EI为常值。 解：查附录D，均布载荷q单独作用时 集中载荷F单独作用时 截面C的挠度： 逐段刚化叠加 例：外伸梁所受载荷及尺寸如图示，弯曲刚度EI已知。试求截面 C的挠度。 解：将该梁看作是由简支梁AB和固定在截面B的悬臂梁BC组成。 1. 将BC刚化，分析简支梁AB