2012上海新知杯高中数学竞赛试卷及答案.doc

2012上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．如图，正六边形的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边 形，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 ． 2．已知正整数满足：，则的最小可能值是 ． 3．若，， ，则 ． 4．已知关于的方程仅有一个实数解，则实数的取值 范围是 ． 5．如图，是边长为的正方形的内接三角形，已知， ，则 ． 6．方程的非负整数解 ． 7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 ．（用数字作答） 8．数列定义如下：.若，则正整数的最小值为 ． 二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，，， 对角线AC与BD的夹角，记直线AB与CD的距离为． 求的表达式，并写出x的取值范围． 10．（本题满分14分）给定实数，求函数的最小值． 11．（本题满分16分）正实数满足； 求证：（1）；（2）． 12．（本题满分16分）给定整数，记为集合的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值：①；②A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求的值； （2）求证：． 2012上海市高中数学竞赛（新知杯）参考答案 1、 2、92 3、11 4、 5、 6、 7、 8、4025 9．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得 ． ① …………………（2分） 在△OBC中，由余弦定理， 所以 ， ② 由①，②得 ． ③ …………………（5分） 所以：， 故：， 所以 ：． …………………（10分） 由③可得，，故． 因为，结合②，③可得：， 解得（结合） ． 综上所述，，． …………………（14分） 10．解 ． 当时，，此时：， 且当时不等式等号成立，故． ………（6分） 当时，，此时“耐克”函数在内是递减， 故此时． 综上所述， …………………（14分） 11．证 （1）记，由平均不等式：． …………………（4分） 于是 ， 所以 ， 而，所以，即，从而． …………………（10分） （2）又因为：， 所以 ， 故 ． …………………（16分） 12．解 （1）设集合，且A满足（a），（b）．则．由于不满足（b），故． 又 都不满足 （b），故． 而集合满足（a），（b），所以． …………………（6分） （2）首先证明：． ① 事实上，若，满足（a），（b），且A的元素个数为． 令，由于，故． 又，所以，集合，且B满足（a），（b）．从而：． …………………（10分） 其次证明： ． ② 事实上，设满足（a），（b），且A的元素个数为． 令， 由于 ， 所以，且． 而， ， 从而B满足（a），（b），于是：． …………………（14分） 由①，②得 ． ③ 反复利用②，③可得 ． …………………（16分）