二○○五年全国高中数学联合竞赛试卷及答案.doc
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二○○五年全国高中数学联合竞赛
试题参考答案及评分标准
说明：
评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于的不等式有解的实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
解：令则
的最大值为。选D。
2．空间四点A、B、C、D满足则的取值（ ）
A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个
解：注意到由于则=
即只有一个值得0，故选A。
3．内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于、、。则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：如图，连，则
4．如图，为正方体。任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为.则（ ）
A．S为定值，不为定值 B．S不为定值，为定值
C．S与均为定值 D．S与均不为定值
解：将正方体切去两个正三棱锥后，得到一个以平行平面为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个
，而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，故为定值。
当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时，W为正三角形，易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值。选B。
5.方程表示的曲线是（ ）
A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的双曲线
C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的双曲线
解：即
又方程表示的曲线是椭圆。
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，选C。
6.记集合将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）
A． B．
C． D．
解：用表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以，得
中的最大数为。
在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而
将此数除以，便得M中的数故选C。
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7.将关于的多项式表为关于的多项式
其中则.
解：由题设知，和式中的各项构成首项为1，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式，得：令得取
有
8.已知是定义在上的减函数，若成立，则的取值范围是
解：在上定义，又
?仅当或时，
在上是减函数，结合（＊）知或
9.设、、满足，若对于任意
则
解：设由，知，
即
又
只有
另一方面，当有记，由于三点构成单位圆上正三角形的三个顶点.其中心位于原点，显然有
即
10.如图，四面体DABC的体积为，且满足则.
解：
即又
等号当且仅当时成立，这时面ABC，.
11.若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为 80 .
解：设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得
令正方形边长为则①
在上任取一点（6，,5），它到直线的距离为②.
①、②联立解得或
12.如果自然数的各位数字之和等于7，那么称为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列若则5200.
解：∵方程的非负整数解的个数为.而使的整数解个数为.现取，可知，位“吉祥数”的个数为
∵2005是形如的数中最小的一个“吉祥数”，且
对于四位“吉祥数”，其个数为满足的非负整数解个数，即个。
∵2005是第1+7+28+28+1＝65个“吉祥数”，即从而
又而
∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000,60100,60010,60001,52000.∴第325个“吉祥数”是52000，即
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13.数列满足：
证明：（1）对任意为正整数；(2)对任意为完全平方数。
证明：（1）由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边平方整理
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