2015年上海市高中数学竞赛试卷.pdf
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2015 年上海市高中数学竞赛试卷
2015 年 3 月 29 日上午 9：30～11：30
【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上.
一、填空题（本题满分 60 分，前 4 小题每小题 7 分，后 4 小题每小题 8 分）
1 ． 等差数列 an 中 ，对任意正整数 n ， 都有 aannn 1 458， 则
a2015 ．
23
2．对整数 n 3，记 fn() log3log423 logn 1 n，则 ff(2 ) (2 )
f (210 ) ．
3. 有 10 个大小相同的小球，其中 5 个是红球，5 个是白球．现将这 10 个
球任意排成一排，并从左至右依次编号为 1，2，…，10. 则红球的编号数之和大
于白球的编号数之和的排法共有 种．
22 22
4. 在直角坐标平面 xO y 上，圆 Ox:1 y ，圆Ox1 :( 3) y 4．过 x 轴
的左半轴上一点 M 作圆 O 的切线，与圆O 相切于点 A ，与圆 O1 分别相交于点
BC, ，若 AB BC ，则点 M 的坐标为 ．
5. 已知 cos( ) 3(sin55 cos ), , ， 则 的 取值范围
4
是 ．
6. 投掷两次骰子，设第一次出现的点数为 a ，第二次出现的点数为b ，则使
得 关于 x 的 二次方程 xaxb2 0 有 两个小于 1 的 不相等实根 的概率
为 ．（用数字作答）
7. 已知集合
AxyxmymmN ,,32, ，BxyxnyaannN ,,(1), 2 ，
则使得 AB 的整数 a 共有 个．
8. 若实数 xy, 满足 xx 3132 y y，则 xy 的最大值为 ．
二、解答题
9．（本题满分 14 分）在直角坐标平面 xOy 上，已知点 AB, 在双曲线
Cx:222 4 xy 0上，且使得△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求
所有这样的△OAB 的个数．
10．（本题满分 14 分）已知 p 为素数， n 为正整数．非负整数 aa01,, , an 均
小于 p ，且满足
aaa012 an 13,
2 n
aapap01 2 apn 2015.
求素数 p ．
11．（本题满分 16 分）如图，已知△ ABC 的面积为 1，过△ ABC 内一点O 分
别引三条边的平行线 DE,, FG HI ，点 DEFGHI,,,, ,均在△ ABC 的边上，求六
边形 DGHEFI 的面积的最小值．
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