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2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 数 学 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,则等于 A. B. C. D. 2.已知复数满足,则等于 A. B. C. D. 3.若,则不等式等价于 A. B. C. D. 4.设为坐标原点, 为抛物线的焦点, 为抛物线上一点,若,则点的坐标为 A. B. C. D. 5.对于上可导的任意函数,若满足,则必有 A. B. C. D. 6.若不等式对一切成立,则的最小值为 A. B. C. D. 7.已知等差数列的前项和为,若,且、、三点共线(该直线不过点),则等于 A.100 B.101 C.200 D.201 8.在的二项展开式中,含的奇次幂的项之和为,当时, 等于 A. B C. D. 9.为又曲线的右支上一点,、分别是圆上的点,则的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9 10.将7个人(含甲、乙)分成三个组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为，甲、乙分在同一组的概率为，则、的值分别为 A． B. C. D. 11.如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与、分别截于、.如果截面将四面体分为体积相等的两部分,设四棱锥与三棱锥的表面积分别为、,则必有 A. B. C. D. 、的大小关系不能确定 12.某地一年内的气温(单位:℃)与时间(月份)之间的关系如图(1)所示,已知该年的平均气温为10℃,令表示时间段的平均气温, 与之间的函数关系用下列图表示,则正确的应该是 第Ⅱ卷 二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题卡上. 13.数列的前项和为,则___________. 14.设的反函数为,若,则_____________. 15.如图,在直三棱柱中,底面为直角三角形,是上一动点,则的最小值为__________. 16.已知圆,直线,下面四个命题 (A)对任意实数和,直线和圆相切; (B)对任意实数和,直线和圆有公共点; (C) 对任意实数,必存在实数,使得直线和圆相切; (D) 对任意实数,必存在实数,使得直线和圆相切. 其中真命题的代号是_______________(写出所有真命题的代号). 三.解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知函数在与时都取得极值. 求、的值及函数的单调区间; 若对,不等式恒成立,求的取值范围. 18.(本小题满分12分) 某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.令表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额,求 (1) 的分布列; (2) 的数学期望. 19.(本小题满分12分) 如图,已知△是边长为的正三角形, 、分别是边、上的点,线段经过△的中心,.设. 试将△、△的面积(分别记为与)表示为的函数; 求的最大值与最小值. 20.(本小题满分12分) 如图,在三棱锥中,侧面、是全等的直角三角形, 是公共的斜边,且.另一个侧面是正三角形. 求证: 求二面角的大小; 在线段上是否存在一点,使与面成角?若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由. 21.(本小题满分12分) 如图,椭圆的右焦点为,过点的一动直线绕点 转动,并且交椭圆于、两点, 为线段的中点. 求点的轨迹的方程; 若在的方程中,令确定的值,使原点距椭圆的右准线最远.此时设与轴交点为,当直线绕点转动到什么位置时,三角形的面积最大? 22.(本小题满分14分) 已知数列满足:. 求数列的通项公式; 证明:对一切正整数,不等式 恒成立. 理科数学试题参考答案 选择题 1.C 2.D 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A 8.B 9.D 10.A 11.C 12.A 二.填空题 13. 14. 15. 16.B、D 三.解答题 17.解: 极大值 极小值 所以函数的递增区间为与; 递减区间为. 18.解: (1) 的所有可能的取值为0,10,20,50,60. (元) 19.解: (1)因为为边长为的正三角形的中心, 所以 由正弦定理 因为,所以当时,