4第四讲、第二章 弹性力学平面问题(1、2)课件.ppt

两边同除以dx dy，并整理得： 两边同除以dx dy，并整理得： P B A C x y O D fx fy 平面问题的平衡微分方程： （2-2） 说明： （1）两个平衡微分方程，三个未知量： —— 超静定问题，需找补充方程才能求解。 （2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用； （3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）； （4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。 P B A C x y O D fx fy * ZS * ZS * ZS * ZS 下一讲再见！ ZS《Rock Mass Mechanics》 ZS《Rock Mass Mechanics》 ZS《Rock Mass Mechanics》 ZS《Rock Mass Mechanics》 ZS《Rock Mass Mechanics》 ZS《Rock Mass Mechanics》 ZS《Rock Mass Mechanics》 ZS《Rock Mass Mechanics》 ZS《Rock Mass Mechanics》 ZS《Rock Mass Mechanics》 ZS《Rock Mass Mechanics》 ZS《Rock Mass Mechanics》 ZS《Rock Mass Mechanics》 * * 第二章 平面问题 基本理论 * ZS 主 要 内 容 §2-1 平面应力问题与平面应变问题 §2-2 平衡微分方程 §2-3 斜面上的应力 主应力 §2-4 几何方程 刚体位移 §2-5 物理方程 §2-6 边界条件 §2-7 圣维南原理 §2-8 按位移求解平面问题 §2-9 按应力求解平面问题 相容方程 §2-10 常体力情况下的简化 斜方向的应变及位移 * * * * x y y z t b a (1)平面应力问题 如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。 由于板面上不受力，有 因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。 可认为整个薄板的各点都有： 由剪应力互等定理，有 平面应力问题只有三个应力分量： x y 应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。 2、平面应变问题 (1) 几何特征 水坝 滚柱 厚壁圆筒 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。 —— 近似认为无限长 (2) 外力特征 外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。 约束 —— 沿长度 z 方向不变化。 2.、 平面应变问题 水坝 滚柱 厚壁圆筒 (3) 变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。 设 z方向为无限长，则 沿 z 方向都不变化， 仅为 x，y 的函数。 任一横截面均可视为对称面 水坝 因为任一横截面均可视为对称面，则有 所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 —— 平面位移问题 —— 平面应变问题 注： (1)平面应变问题中 但是， (2)平面应变问题中应力分量： —— 仅为 x y 的函数。 可近似为平面应变问题的例子： 煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。 如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？ 非平面问题 3、平面问题的求解 问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件， 求： —— 仅为 x y 的函数 需建立三个方面的关系： （1）静力学关系： （2）几何学关系： （3）物理学关系： 形变与应力间的关系。 应力与体力、面力间的关系； 形变与位移间的关系； 建立边界条件： —— 平衡微分方程 —— 几何方程 —— 物理方程 （1）应力边界条件； （2）位移边界条件； 两类平面问题： 平面应力问题 平面应变问题 几何特征 受力特征 应力特征 几何特征; 受力特征; 应变特征。 * * B A C P x y O 取微元体PABC（P点附近）， D fx fy Z 方向取单位长度。 设P点应力已知： 体力：fx ，fy P P P B A C x y O 取微元体PABC（P点附近）， D fx fy Z 方向取单位长度。 设P点应力已知： 体力：fx ，fy AC面： BC面： 注： 这里两次用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸，并且？？？ P B A C x y O D fx fy 由微元体PABC平衡，得 整理得： 当 时，有 —— 剪应力互等定理 ZS《Rock Mass Mechanics》 ZS《Rock Mass Mechanics》