7第七讲、第二章-弹性力学平面问题(9-10).ppt
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式(a)满足相容方程。 再验证,式(a)是否满足边界条件? —— 满足 ——满足 ——近似满足 近似满足 结论:式(a)为正确解 代入相容方程: 上、下侧边界: 右侧边界: 左侧边界: * ZS 1、常体力下平面问题的相容方程 令: —— 拉普拉斯(Laplace)算子 则相容方程可表示为: —— 平面应力情形 —— 平面应变情形 当体力 X、Y 为常数时,两种平面问题的相容方程相同,即 或 (2-25) 2、常体力下平面问题的基本方程 (1)平衡方程 (2-2) (2)相容方程(形变协调方程) (3)边界条件 (2-18) (4)位移单值条件 —— 对多连通问题而言。 讨论: (1) —— Laplace方程, 或称调和方程。 (2) 常体力下,方程中不含E、μ (a) 两种平面问题,计算结果 相同 )不同。 (但 (b) 不同材料,具有相同外力和边界条件时,其计算结果相同。 —— 光弹性实验原理。 (3) 用平面应力试验模型,代替平面应变试验模型,为实验应力分析提供理论基础。 满足: 的函数 称为调和函数(解析函数)。 3、常体力下体力与面力的变换 平衡方程: 相容方程: 边界条件: 令: 常体力下, 满足的方程: (a) 将式(b)代入平衡方程、相容方程、边界条件,有 (b) (c) (c) 表明: (1)变换后的平衡方程、相容方程均为齐次方程(容易求解); (2)变换后问题的边界面力改变为: 结论: 当体力X =常数,Y =常数时,可先求解无体力而面力为: 问题的解: ,而原问题的解为: * ZS x y x y 例10: p F A B C D E h h (a) 图示深梁在重力作用下的应力分析。 原问题: 体力: 边界面力: 所求应力: A B C F D E h h (b) ph 2ph 变换后的问题: 体力: 边界面力: (1) 当 y = 0 时, (2) 当 y = –h 时, (3) 当 y = –2h 时, 所求得的应力: 原问题的应力 常体力下体力与面力转换的优点(好处): 原问题的求解方程 变换后问题的求解方程 常体力问题 无体力问题 作用: (1) 方便分析计算(齐次方程易求解)。 (2) 实验测试时,一般体力不易施加,可用加面力的方法替代加体力。 注意: 面力变换公式: 与坐标系的选取有关, 因此,适当选取坐标系,可使面力表达式简单。 2. 平面问题的基本方程: (1)平衡方程: (2-2) (2)几何方程: (2-9) ——位移边界条件 (4)边界条件: (1) (2) ——应力边界条件 (3)物理方程: (2-15) ——平面应力问题 3. 平面问题一点的应力、应变分析 (b) 主应力与应力主向 (2-7) (2-8) (c) 最大、最小剪应力及其方向 τmax、 τmin 的方向与σ1 ( σ2 )成45°。 (a) 任意斜面上应力 或 4. 圣维南原理的应用 (d)任意斜方向的线应变 (2-11) (e)一点任意两线段夹角的改变 (2-12) 若把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力,则近处的应力分布将有显著改变,而远处所受的影响可忽略不计。 注意事项: (1) 必须满足静力等效条件; (2) 只能在次要边界上用圣维南原理,在主要边界上不能使用。 P 次要边界 5. 平面问题的求解方法: (2-17) ——位移边界条件 (2-21) ——应力边界条件 (1)按位移求解基本方程 (2-20) ——平衡方程 (2)按应力求解平面问题的基本方程 (2-22) —— 形变协调方程(或相容方程) 相容方程 (2-23) (平面应力情形) 应力表示的相容方程 (2-24) (平面应变情形) (2-25) (体力 fx、fy 为常数情形) (1)平衡方程 (2-2) (3)边界条件: (2-18) (2)相容方程(形变协调方程) (2-23) (平面应力情形) 按应力求解的基本方程 常体力下可以简化: 求解方法? ( 两种平面问题形式相同) ( 1) 体力X、Y 转化为面力处理。 ( 2) * ZS 常体力下问题的基本方程: 边界条件、位移单值条件。 (a) (b) 式(a)为非齐次方程,其解: 全解 = 齐次方程通解 1、平衡微分方程解的形式 (1) 特解 常体力下特解形式: +非齐次方程的特解。 (1) (2) (3)
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