7第七讲、第二章-弹性力学平面问题(9-10).ppt

式（a）满足相容方程。 再验证，式（a）是否满足边界条件？ —— 满足 ——满足 ——近似满足 近似满足 结论：式（a）为正确解 代入相容方程： 上、下侧边界： 右侧边界： 左侧边界： * ZS 1、常体力下平面问题的相容方程 令： —— 拉普拉斯（Laplace）算子 则相容方程可表示为： —— 平面应力情形 —— 平面应变情形 当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即 或 （2-25） 2、常体力下平面问题的基本方程 （1）平衡方程 （2-2） （2）相容方程（形变协调方程） （3）边界条件 （2-18） （4）位移单值条件 —— 对多连通问题而言。 讨论： （1） —— Laplace方程， 或称调和方程。 （2） 常体力下，方程中不含E、μ （a） 两种平面问题，计算结果 相同 ）不同。 （但 （b） 不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计算结果相同。 —— 光弹性实验原理。 （3） 用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。 满足： 的函数 称为调和函数（解析函数）。 3、常体力下体力与面力的变换 平衡方程: 相容方程: 边界条件: 令： 常体力下， 满足的方程： (a) 将式(b)代入平衡方程、相容方程、边界条件，有 (b) (c) (c) 表明： （1）变换后的平衡方程、相容方程均为齐次方程（容易求解）； （2）变换后问题的边界面力改变为： 结论： 当体力X =常数，Y =常数时，可先求解无体力而面力为： 问题的解： ，而原问题的解为： * ZS x y x y 例10： p F A B C D E h h (a) 图示深梁在重力作用下的应力分析。 原问题： 体力： 边界面力： 所求应力： A B C F D E h h (b) ph 2ph 变换后的问题： 体力： 边界面力： (1) 当 y = 0 时， (2) 当 y = –h 时， (3) 当 y = –2h 时， 所求得的应力： 原问题的应力 常体力下体力与面力转换的优点（好处）： 原问题的求解方程 变换后问题的求解方程 常体力问题 无体力问题 作用： (1) 方便分析计算（齐次方程易求解）。 (2) 实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。 注意： 面力变换公式： 与坐标系的选取有关， 因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。 2. 平面问题的基本方程： （1）平衡方程： （2-2） （2）几何方程： （2-9） ——位移边界条件 （4）边界条件： （1） （2） ——应力边界条件 （3）物理方程： （2-15） ——平面应力问题 3. 平面问题一点的应力、应变分析 (b) 主应力与应力主向 （2-7） （2-8） (c) 最大、最小剪应力及其方向 τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。 (a) 任意斜面上应力 或 4. 圣维南原理的应用 （d）任意斜方向的线应变 （2-11） （e）一点任意两线段夹角的改变 （2-12） 若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。 注意事项： (1) 必须满足静力等效条件； (2) 只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。 P 次要边界 5. 平面问题的求解方法： （2-17） ——位移边界条件 （2-21） ——应力边界条件 （1）按位移求解基本方程 （2-20） ——平衡方程 （2）按应力求解平面问题的基本方程 （2-22） —— 形变协调方程（或相容方程） 相容方程 （2-23） （平面应力情形） 应力表示的相容方程 （2-24） （平面应变情形） （2-25） （体力 fx、fy 为常数情形） （1）平衡方程 （2-2） （3）边界条件： （2-18） （2）相容方程（形变协调方程） （2-23） （平面应力情形） 按应力求解的基本方程 常体力下可以简化： 求解方法？ （ 两种平面问题形式相同） （ 1） 体力X、Y 转化为面力处理。 （ 2） * ZS 常体力下问题的基本方程： 边界条件、位移单值条件。 (a) (b) 式(a)为非齐次方程，其解： 全解 = 齐次方程通解 1、平衡微分方程解的形式 (1) 特解 常体力下特解形式： +非齐次方程的特解。 (1) (2) (3)