弹性力学与有限元第二章.ppt

第二章 平面问题的基本理论 混合边界条件 物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，另一部分具有已知表面力，因而具有应力边界条件。 按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类： 位移边界问题：在边界面上全部给定位移，即全部是 Su 边界 应力边界问题：在边界面上全部给定表面力，即全部是 边界。这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系。 混合边界问题：既有Su 边界，又有 边界。二者可以分别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上。 第二章 平面问题的基本理论 试列出下图所示弹性体的边界条件 q1 q2 ρgy a O x y x=a x=0 y=0 y=b b 人们研究了局部区域上力的作用方式对于弹性力学解答的影响问题，提出了圣维南原理： 如果把物体的某一局部（小部分）边界上作用的表面力改变其分布方式，但保持静力上的等效（即主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），则近处的应力分布将有显著的改变，而远处的应力改变极小，可以忽略不计。 第二章 平面问题的基本理论 § 2-7 圣维南原理 应用圣维南原理，绝对不能离开 “ 静力等效 ” 的条件。 对于局部区域受一平衡力系作用时，圣维南原理还可叙述如下： 如果物体某一局部（小部分）边界表面承受的表面力是一平衡力系（即主矢量和主矩都为零），这个平衡表面力所产生的扰动只限在局部，即只在受力附近产生显著的应力，随着远离受力位置应力迅速衰减甚至消失。 第二章 平面问题的基本理论 第二章 平面问题的基本理论 列出右图所示的全部边界条件 h/2 h/2 x y l q q1 O FN FS M （lh,δ=1） 大边界上，精确的边界条件 小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理列出近似边界条件 边界上 在 x=0 x=l 第二章 平面问题的基本理论 § 2-8 求解平面问题的基本方法 在弹性力学里求解问题，有三种基本方法：按位移求解，按应力求解和混合求解。 按位移求解时，以位移分量为基本未知函数，由一些只包含位移分量的微分方程和边界条件求出位移分量以后，再用几何方程求出应变分量，从而用物理方程求出应力分量。 按应力求解时，以应力分量为基本未知函数，由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量以后，再用物理方程求出应变分量，从而用几何方程求出位移分量。 在混合求解时，同时以某些位移分量和应力分量为基本未知函数，由一些只包含这些基本未知函数的微分方程和边界条件求出这些基本未知函数以后，再用适当的方程求出其它的未知函数。 按位移求解 第二章 平面问题的基本理论 在平面应力问题中，物理方程是 求得应力分量 将几何方程 代入，得 第二章 平面问题的基本理论 再将上式代入平衡微分方程 简化后，得到用位移表示的平衡微分方程 第二章 平面问题的基本理论 代入应力边界条件 简化后，得到用位移表示的应力边界条件 对于平面应变问题，须在上面的各个方程中将 E 换为 ， 将 ?换为 第二章 平面问题的基本理论 如图所示悬挂板，在o点固定，下端自由，材料比重为?，试求该板的应力分量和位移分量。 一维问题 v=0, u=u(x), 泊松比μ＝0 ?g 代入用位移表示的平衡微分方程 解出 利用边界条件 得出 所以 将平面问题几何方程中?x对 y的二阶导数和?y对x的二阶导数 相加，得到 第二章 平面问题的基本理论 按应力求解 — 变形协调方程或相容方程 对于平面应力问题，将物理方程代入变形协调方程，得到 利用物理方程将变形协调方程中的应变分量消去，使之只包含应力分量（基本未知函数）。 第二章 平面问题的基本理论 利用平衡微分方程，将上式简化为只包含正应力而不包含剪应力。将平衡微分方程写成如下形式 将前一方程对x求导，后一方程对y求导，然后相加，并注意 得 代入，简化后，得到平面应力问题的相容方程 将 ? 换为 ，可得到平面应变问题的相容方程 第二章 平面问题的基本理论 小结 按位移求解平面应力问题 位移分量须满足 边界条件 在 上 在 Su 上 平衡微分方程 对于按位移求解平面应变问题，须在上面的平衡微分方程和边界条件中将 E 换为 ，将 ?换为 。 按位移求解平面应变问题 第二章 平面问题的基本理论 求出位移分量后，用几何方程求得应变分量 然后用右式求得应力分