线性二次与型最优控制问题 .ppt

第五讲 线性二次型最优控制问题 主 要 内 容 5.1 线性二次型性能指标 5.2 状态调节器问题 有限时间状态调节器问题 无限时间状态调节器问题 5.3 输出调节器问题 5.4 跟踪问题 5.1 线性二次型性能指标 性能指标具有鲜明的物理意义。 最优解可以写成统一的解析表达式。 所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式，便于计算和工程实现。 可以兼顾系统性能指标的多方面因素：快速性、能量消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。 许多控制问题都可作为线性二次型最优控制问题来处理。 问题5.1.1 给定线性时变系统的状态方程和输出方程 选择最优控制U*(t)使下列二次型性能指标 若C(t)=I（单位矩阵），Yr(t)=0，则 于是性能指标变为 若Yr(t)?0，则 于是性能指标可写为 性能指标的物理意义 性能指标中的第一部分 称作终端代价，用它来限制终端误差e(tf) ，以保证终端状态X(tf)具有适当的准确性。 性能指标中的第二部分 称作过程代价，用它来限制控制过程的误差e(t)，以保证系统响应具有适当的快速性。 性能指标中的第三部分 称作控制代价，用它来限制控制U(t)的幅值及平滑性，以保证系统安全运行。同时，它对限制控制过程的能源消耗也能起到重要的作用，从而保证系统具有适当的节能性。 （1）二次型性能指标是一种综合型性能指标，它可以兼顾终端状态的准确性、系统响应的快速性、系统运行的安全性及节能性各方面因素。 （3）不同目标之间，往往存在着一定矛盾。 为能尽快消除误差并提高终端准确性，就需较强的控制作用及较大的能量消耗；而抑制控制作用的幅值和降低能耗，必然会影响系统的快速性和终端准确性——合理折衷。 性能指标中加权矩阵S，Q(t)和R(t) （1）加权矩阵中的各个元素之间的数值比例关系，将直接影响系统的工作品质。 提高S阵中某一元素的比重，说明更加重视与该元素对应的状态分量的终端准确性； 提高Q(t)阵中某一元素的比重，说明希望与之对应的状态分量具有较好的快速响应特性（较小的暂态误差）； 提高R(t)阵中某一元素的比重，意味着需要更有效地抑制与之相应的控制分量的幅值及由它引起的能量消耗。 （2） S取半正定， Q(t) 取半正定， R(t)必须取正定。 （3）由于终端代价只表示终端时刻tf时的性能，因此， S应为常数阵。至于Q(t)及R(t)，可能取为常数阵，也可能取为时变阵——为了适应控制过程的特殊需要。 对容许控制U(t)和终态X(tf)的说明 5.2 状态调节器问题 问题5.2.1 给定线性时变系统的状态方程和初始条件 其中X(t)是n维状态变量，U(t)是m维控制变量，A (t)是n?n时变矩阵，B (t)是n?m时变矩阵。性能指标是 其中，Q (t)是n?n非负定对称的时变矩阵，R (t)是m?m正定对称的时变矩阵，tf是给定的有限终端时刻，X(tf)是自由的终端状态，控制函数U(t)不受约束。 要求确定最优控制函数U*(t)，使性能指标 达到最小值。 解： 构造Hamilton函数 因为控制函数U(t)本身不受约束，所以有 其中，P(t)是n?n待定的时变矩阵。 对上式两边求导数，得 由于X(t)是任意的，所以有 由于终端状态X(tf)是自由的，故相应的协态变量的 终端值为 所以， P(t)的3个重要性质 若R是正定矩阵，Q是半正定矩阵，则P(t)（t0?t?tf）是半正定矩阵；若R是正定矩阵， Q是正定矩阵，则P(t)（t0?t?tf）是正定矩阵。 证明：对于任意非零的初态X(t)(t0?t?tf)，性能指标的最小值为 ： 由于R是正定的，若Q是半正定的，则式（5.2.5）右端大于等于零，于是 故P(t)是半正定的。 命题5.2.1 问题5.2.1的最优调节作用必为如下形式的状态反馈 若令 ，则有 其中，K(t)称为反馈增益矩阵。 构成一个状态反馈最优调节系统，如图所示。 说明： 设U(t)是任意的控制作用，X(t)是相应于U(t)的状态轨线，性能指标