高中新课程数学（新课标人教A版）必修一《二二二分段函数及映射》稿件教程.ppt

第2课时　分段函数及映射;目 标 要 求;1．在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的　　　　　，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的　　　，其值域是各段值域的　　　． 2．设A、B是非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的　　　　一个元素x，在集合B中都有　　　　　的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．;3．映射是　　　的推广，函数是一种特殊的映射，即函数是数集到数集的映射．;2．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是 (　　) 解析：A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素与之对应． 答案：C;3．函数y＝|x－1|，x∈[－1,4]，则此函数的值域为________． 解析：函数y＝|x－1|，x∈[－1,4]上的图象如下图所示，故y∈[0,3]． 答案：[0,3];4．在映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，且f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则与A中的元素(－1,2)对应的B中的元素为________． 解析：由题意知，与A中元素(－1,2)对应的B中元素为(－1－2，－1＋2)， 即(－3,1)． 答案：(－3,1);温馨提示：(1)分段函数题求解时，一定要注意自变量的取值范围，从而确定相应的解析式． (2)分类讨论时，各种条件下的解集一定要与各自的条件取交集，最后所有的解集取并集就是最终的解集． ;类型二　分段函数的图象与值域 【例2】　作出函数y＝2|x－1|－3|x|的图象，并求其值域． 思路分析：本题为绝对值函数，应先由零点分段讨论法去掉绝对值符号，再画出分段函数的图象，然后解之．;温馨提示：本例利用图象法求函数值域，其关键是准确作出分段函数的图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图象时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分． ;思路分析：由题目可获取以下主要信息： ①判断对应是否为映射；②用解析式给出了三个对应关系． 解答本题可先由映射定义出发，观察A中任何一个元素在B中是否都有唯一元素与之对应．;温馨提示：要判断对应f：A→B是否是A到B的是映射，必须做到两点：①明确集合A、B中的元素；②根据映射定义判断A中每个元素是否在B中能找到唯一确定的对应元素． ;类型四　分段函数在生活中的应用 【例4】　电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元．超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.2元，不足1分钟以1分钟计费，求通话收费x元与通话时间t(分钟)的函数解析式，并画出其图象．;思路分析：通话前3分钟的收费和以后每隔1分钟的收费都是不同值，并且不足1分钟以1分钟计费，因此，通话收费x元与通话时间t(分钟)的函数解析式用分段函数表示．;(2)函数f(x)的图象如下图所示， (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． ;1．分段函数 有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数． 理解分段函数应注意以下几点： (1)分段函数是生产生活中的重要函数模型，应用非常广泛； (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数是一个函数，不是两个或多个函数，其本质是在定义域的不同区间，对应关系不同．;(3)分段函数的每一段或者说区间，可以是等长的，也可以是不等长的． (4)画分段函数的图象时，要特别注意自变量取区间端点处的函数值情况，这也往往是判断图形是否为分段函数的图象的关键所在． ;2．映射 首先，要准确理解映射的概念：映射的概念可以概括为“取元任意性，成象唯一性”，即： ①A中元素不可剩，B中元素可剩； ②多对一行，一对多不行； ③映射具有方向性：f：A→B与f：B→A一般是不同的映射． 其次，要准确把握映射与函数的关系：;(1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射的语言来叙述函数的问题． (2)区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言，A和B不一定是数集．;高斯函数 高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家．高斯是近代数学的奠基者之一，在历史上影响很大，有“数学王子”之称． 他幼年时就表现出超人的数学天才.1795年进入格丁根大学学习．第二年他就发现正十七边形的尺规作图法，并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未决的问题．;高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创